En lógica matemática , un término básico de un sistema formal es un término que no contiene ninguna variable . Del mismo modo, una fórmula básica es una fórmula que no contiene ninguna variable.
En la lógica de primer orden con la identidad , la frase Q ( un ) ∨ P ( b ) es una fórmula de suelo, con un y b ser símbolos constantes. Una expresión básica es un término básico o una fórmula básica.
Ejemplos de
Considere las siguientes expresiones en lógica de primer orden sobre una firma que contiene un símbolo constante 0 para el número 0, un símbolo de función unaria s para la función sucesora y un símbolo de función binaria + para la suma.
- s (0), s ( s (0)), s ( s ( s (0))), ... son términos básicos,
- 0 + 1, 0 + 1 + 1, ... son términos básicos,
- x + s (1) ys ( x ) son términos, pero no términos básicos,
- s (0) = 1 y 0 + 0 = 0 son fórmulas básicas,
Definicion formal
Lo que sigue es una definición formal de lenguajes de primer orden . Sea un lenguaje de primer orden, con C el conjunto de símbolos constantes, V el conjunto de variables (individuales), F el conjunto de operadores funcionales y P el conjunto de símbolos predicados .
Términos básicos
Los términos básicos son términos que no contienen variables. Pueden definirse mediante recursividad lógica (recursión de fórmulas):
- Los elementos de C son términos básicos;
- Si f ∈ F es un símbolo de función n -aria y α 1 , α 2 , ..., α n son términos fundamentales, entonces f (α 1 , α 2 , ..., α n ) es un término fundamental.
- Cada término fundamental puede darse mediante una aplicación finita de las dos reglas anteriores (no hay otros términos fundamentales; en particular, los predicados no pueden ser términos fundamentales).
En términos generales, el universo Herbrand es el conjunto de todos los términos básicos.
Átomo de tierra
Un predicado fundamental , un átomo fundamental o un literal fundamental es una fórmula atómica cuyos términos argumentales son términos fundamentales.
Si p ∈ P es un símbolo de predicado n -ary y α 1 , α 2 , ..., α n son términos fundamentales, entonces p (α 1 , α 2 , ..., α n ) es un predicado fundamental o fundamental átomo.
En términos generales, la base de Herbrand es el conjunto de todos los átomos de tierra, mientras que una interpretación de Herbrand asigna un valor de verdad a cada átomo de tierra en la base.
Fórmula de tierra
Una fórmula básica o cláusula básica es una fórmula sin variables.
Las fórmulas con variables libres se pueden definir mediante recursividad sintáctica de la siguiente manera:
- Las variables libres de un átomo no molido son todas las variables que ocurren en él.
- Las variables libres de ¬ p son las mismas que las de p . Las variables libres de p ∨ q , p ∧ q , p → q son las variables libres de p o las variables libres de q .
- Las variables libres de ∀ x py ∃ x p son las variables libres de p excepto x .
Referencias
- Dalal, M. (2000), "Paradigmas de programación de computadoras basados en lógica", en Rosen, KH; Michaels, JG (eds.), Manual de matemáticas discretas y combinatorias , p. 68
- Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelo más breve , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
- Lógica de primer orden: sintaxis y semántica