En matemáticas , la transposición conjugada (o transposición hermitiana ) de una matriz m- por- n con entradas complejas es la matriz n- por- m obtenida detomando la transposición y luego tomando el conjugado complejo de cada entrada (el conjugado complejo de ser , para números reales y ). A menudo se denota como o . [1] [2] [3]
Para matrices reales, la transpuesta conjugada es solo la transpuesta, .
Definición
La transposición conjugada de un matriz está formalmente definido por
| ( Ecuación 1 ) |
donde el subíndice denota el -th entrada, para y , y la barra superior denota un conjugado complejo escalar.
Esta definición también se puede escribir como [3]
dónde denota la transposición y denota la matriz con entradas conjugadas complejas.
Otros nombres para la transpuesta conjugada de una matriz son conjugado hermitiano , matriz dagged , matriz adjunta o transjugada . La transpuesta conjugada de una matriz se puede denotar con cualquiera de estos símbolos:
- , comúnmente utilizado en álgebra lineal [3]
- , comúnmente utilizado en álgebra lineal [1]
- (a veces pronunciado como una daga ), de uso común en mecánica cuántica
- , aunque este símbolo se usa más comúnmente para el pseudoinverso de Moore-Penrose
En algunos contextos, denota la matriz con sólo entradas conjugadas complejas y sin transposición.
Ejemplo
Supongamos que queremos calcular la transpuesta conjugada de la siguiente matriz .
Primero transponemos la matriz:
Luego conjugamos cada entrada de la matriz:
Observaciones básicas
Una matriz cuadrada con entradas se llama
- Hermitiana o autoadjunta si; es decir,.
- Inclinarse Hermitian o antihermitian si; es decir,.
- Normal si.
- Unitario si, equivalentemente , equivalentemente .
Incluso si no es cuadrado, las dos matrices y son matrices hermitianas y, de hecho , semidefinidas positivas .
La matriz conjugada transpuesta "adjunta" no debe confundirse con el adyuvante ,, que a veces también se denomina adjunto .
La transpuesta conjugada de una matriz con entradas reales se reduce a la transposición de, ya que el conjugado de un número real es el número mismo.
Motivación
La transposición conjugada se puede motivar observando que los números complejos se pueden representar de manera útil mediante matrices reales de 2 × 2, obedeciendo a la suma y multiplicación de matrices:
Es decir, denotar cada número complejo z por la matriz real de 2 × 2 de la transformación lineal en el diagrama de Argand (visto como el espacio vectorial real), afectado por la multiplicación z compleja en.
Por lo tanto, un m -by- n matriz de números complejos podría ser bien representada por un 2 m -por-2 n matriz de números reales. Por lo tanto, la transposición conjugada surge de forma muy natural como resultado de la simple transposición de dicha matriz, cuando se la ve nuevamente como una matriz n- por- m compuesta de números complejos.
Propiedades de la transposición conjugada
- para dos matrices cualesquiera y de las mismas dimensiones.
- para cualquier número complejo y cualquier matriz m- por- n.
- para cualquier matriz m- por- ny cualquier matriz n- por- p. Tenga en cuenta que el orden de los factores se invierte. [2]
- para cualquier matriz m- por- n, es decir, la transposición hermitiana es una involución .
- Si es una matriz cuadrada, entonces dónde denota el determinante de .
- Si es una matriz cuadrada, entonces dónde denota el rastro de.
- es invertible si y solo si es invertible, y en ese caso .
- Los valores propios deson los conjugados complejos de los valores propios de.
- para cualquier matriz m- por- n, cualquier vector en y cualquier vector . Aquí,denota el producto interno complejo estándar en, y de manera similar para .
Generalizaciones
La última propiedad dada arriba muestra que si uno ve como una transformación lineal del espacio de Hilbert a entonces la matriz corresponde al operador adjunto de. Por tanto, el concepto de operadores adjuntos entre espacios de Hilbert puede verse como una generalización de la transposición conjugada de matrices con respecto a una base ortonormal.
Hay otra generalización disponible: supongamos es un mapa lineal de un espacio vectorial complejo a otro, , entonces se definen el mapa lineal conjugado complejo , así como el mapa lineal transpuesto , y así podemos tomar la transpuesta conjugada de ser el conjugado complejo de la transpuesta de . Traza el dual conjugado de al dual conjugado de .
Ver también
Referencias
- ^ a b "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Transposición conjugada" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
- ^ a b c "transposición conjugada" . planetmath.org . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
enlaces externos
- "Matriz adjunta" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]