En matemáticas, la regularización de Hadamard (también llamada parte finita de Hadamard o partie finie de Hadamard ) es un método para regularizar integrales divergentes eliminando algunos términos divergentes y manteniendo la parte finita, introducido por Hadamard ( 1923 , libro III, capítulo I, 1932 ). Riesz ( 1938 , 1949 ) mostró que esto puede interpretarse como si se tomara la continuación meromórfica de una integral convergente.
Si la integral del valor principal de Cauchy
existe, entonces se puede diferenciar con respecto ax para obtener la integral de parte finita de Hadamard de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que los símbolos y se utilizan aquí para denotar el valor principal de Cauchy y las integrales de partes finitas de Hadamard, respectivamente.
La integral de parte finita de Hadamard anterior (para a < x < b ) también puede estar dada por las siguientes definiciones equivalentes:
Las definiciones anteriores se pueden derivar asumiendo que la función f ( t ) es derivable infinitamente muchas veces en t = x para a < x < b , es decir, asumiendo que f ( t ) puede ser representada por su serie de Taylor sobre t = x . Para obtener más información, consulte Ang ( 2013 ). (Tenga en cuenta que el término -f ( x )/2( 1/b - x - 1/a - x) en la segunda definición equivalente anterior falta en Ang ( 2013 ) pero esto se corrige en la hoja de erratas del libro).
Las ecuaciones integrales que contienen integrales de partes finitas de Hadamard (con f ( t ) desconocido) se denominan ecuaciones integrales hipersingulares. Las ecuaciones integrales hipersingulares surgen en la formulación de muchos problemas en mecánica, como en el análisis de fracturas.
Referencias
- Ang, Whye-Teong (2013), Ecuaciones integrales hipersingulares en el análisis de fracturas , Oxford: Woodhead Publishing , págs. 19-24, ISBN 978-0-85709-479-7.
- Ang, Whye-Teong, hoja de erratas para ecuaciones integrales hipersingulares en análisis de fracturas (PDF).
- Blanchet, Luc; Faye, Guillaume (2000), "Regularización de Hadamard", Journal of Mathematical Physics , 41 (11): 7675–7714, arXiv : gr-qc / 0004008 , Bibcode : 2000JMP .... 41.7675B , doi : 10.1063 / 1.1308506 , ISSN 0022-2488 , MR 1788597 , Zbl 0.986,46024.
- Hadamard, Jacques (1923), Conferencias sobre el problema de Cauchy en ecuaciones diferenciales parciales lineales , ediciones Dover Phoenix, Dover Publications, Nueva York, p. 316, ISBN 978-0-486-49549-1, JFM 49.0725.04 , MR 0.051.411 , Zbl 0.049,34805.
- Hadamard, J. (1932), Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques (en francés), París: Hermann & Cie., P. 542, Zbl 0006.20501.
- Riesz, Marcel (1938), "Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels". , Acta Litt. Ac Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Matemáticas. ( Szeged ) (en francés), 9 (1-1): 1-42, JFM 64.0476.03 , Zbl 0.018,40704 , Archivado desde el original en 03/05/2016 , recuperada 2012-06-22.
- Riesz, Marcel (1938), "Rectification au travail" Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels " " , Acta Litt. Ac Sient. Univ. Colgado. Francisco-Josephinae, Sec. Sci. Matemáticas. ( Szeged ) (en francés), 9 (2-2): 116-118, JFM 65.1272.03 , Zbl 0.020,36402 , Archivado desde el original en 03/04/2016 , recuperada 2012-06-22.
- Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007 / BF02395016 , ISSN 0001-5962 , MR 0030102 , Zbl 0033.27601