En teoría matemática de grupos , el teorema de Hall-Higman , debido a Philip Hall y Graham Higman ( 1956 , Teorema B), describe las posibilidades para el polinomio mínimo de un elemento de orden de potencia primo para una representación de un grupo p- soluble .
Declaración
Supongamos que G es un grupo p- soluble sin p- subgrupos normales , que actúa fielmente en un espacio vectorial sobre un campo de característica p . Si x es un elemento de orden p n de G, entonces el polinomio mínimo es de la forma ( X - 1) r para algún r ≤ p n . El teorema de Hall-Higman establece que se cumple una de las siguientes 3 posibilidades:
- r = p n
- p es un número primo de Fermat y los 2 subgrupos de G de Sylow son no abelianos y r ≥ p n - p n −1
- p = 2 y los subgrupos q de Sylow de G son no abelianos para algunos primos de Mersenne q = 2 m - 1 menor que 2 n y r ≥ 2 n - 2 n - m .
Ejemplos de
El grupo SL 2 ( F 3 ) se puede resolver en 3 (de hecho, se puede resolver) y tiene una representación bidimensional obvia sobre un campo de característica p = 3, en el que los elementos de orden 3 tienen un polinomio mínimo ( X −1) 2 con r = 3−1.
Referencias
- Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos (2.a ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Hall, P .; Higman, Graham (1956), "Sobre la longitud p de los grupos solubles p y teoremas de reducción para el problema de Burnside", Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 6 : 1-42, doi : 10.1112 / plms / s3- 6.1.1 , MR 0072872