El algoritmo ocupa el segundo lugar en la clase de métodos de Householder , después del método de Newton . Como este último, produce iterativamente una secuencia de aproximaciones a la raíz; su tasa de convergencia a la raíz es cúbica. Existen versiones multidimensionales de este método.
Edmond Halley fue un matemático inglés que introdujo el método que ahora se llama por su nombre. El método de Halley es un algoritmo numérico para resolver la ecuación no lineal f ( x ) = 0. En este caso, la función f tiene que ser una función de una variable real. El método consta de una secuencia de iteraciones:
Si f es una función continuamente diferenciable tres veces y a es cero de f pero no de su derivada, entonces, en una vecindad de a , las iteraciones x n satisfacen:
Esto significa que las iteraciones convergen al cero si la estimación inicial es lo suficientemente cercana y que la convergencia es cúbica. [3]
La siguiente formulación alternativa muestra la similitud entre el método de Halley y el método de Newton. La expresion se calcula solo una vez, y es particularmente útil cuando se puede simplificar:
Cuando la segunda derivada está muy cerca de cero, la iteración del método de Halley es casi la misma que la iteración del método de Newton.
Derivación
Considere la función
Cualquier raíz de f que no sea raíz de su derivada es raíz de g ; y cualquier raíz r de g debe ser una raíz de f siempre que la derivada de f en r no sea infinita. Al aplicar el método de Newton a g se obtiene
con
y el resultado sigue. Observe que si f ′ ( c ) = 0, entonces no se puede aplicar esto en c porque g ( c ) sería indefinido.
Convergencia cúbica
Suponga que a es una raíz de f pero no de su derivada. Y supongamos que la tercera derivada de f existe y es continua en una zona de una y x n está en ese barrio. Entonces el teorema de Taylor implica:
y también
donde ξ y η son números que se encuentran entre una y x n . Multiplica la primera ecuación por y restarle la segunda ecuación multiplicada por dar:
Cancelado y reorganizar los términos produce:
Coloque el segundo término en el lado izquierdo y divida entre
Llegar:
Por lo tanto:
El límite del coeficiente en el lado derecho cuando x n → a es:
Si tomamos K como un poco más grande que el valor absoluto de esto, podemos tomar valores absolutos de ambos lados de la fórmula y reemplazar el valor absoluto del coeficiente por su límite superior cerca de a para obtener:
^ Boyd, JP (2013). "Encontrar los ceros de una ecuación univariante: buscadores de raíces proxy, interpolación de Chebyshev y la matriz complementaria". Revisión SIAM . 55 (2): 375–396. doi : 10.1137 / 110838297 .
^Scavo, TR; Thoo, JB (1995). "Sobre la geometría del método de Halley". American Mathematical Monthly . 102 (5): 417–426. doi : 10.2307 / 2975033 . JSTOR 2975033 .
^Alefeld, G. (1981). "Sobre la convergencia del método de Halley". American Mathematical Monthly . 88 (7): 530–536. doi : 10.2307 / 2321760 . JSTOR 2321760 .
^Proinov, Petko D .; Ivanov, Stoil I. (2015). "Sobre la convergencia del método de Halley para el cálculo simultáneo de polinomios ceros". J. Numer. Matemáticas . 23 (4): 379–394. doi : 10.1515 / jnma-2015-0026 .
Método de Newton e iteraciones de alto orden , Pascal Sebah y Xavier Gourdon, 2001 (el sitio tiene un enlace a una versión PostScript para una mejor visualización de la fórmula)