En el análisis numérico , el método de la secante es un algoritmo de búsqueda de raíces que utiliza una sucesión de raíces de líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f . El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton . Sin embargo, el método de la secante es anterior al método de Newton en más de 3000 años. [1]
El método
El método de la secante está definido por la relación de recurrencia
Como se puede ver en la relación de recurrencia, el método de la secante requiere dos valores iniciales, x 0 y x 1 , que idealmente deberían elegirse cerca de la raíz.
Derivación del método
Comenzando con los valores iniciales x 0 y x 1 , construimos una línea a través de los puntos ( x 0 , f ( x 0 )) y ( x 1 , f ( x 1 )) , como se muestra en la imagen de arriba. En forma pendiente-intersección, la ecuación de esta línea es
La raíz de esta función lineal, que es el valor de x tal que y = 0 es
Luego usamos este nuevo valor de x como x 2 y repetimos el proceso, usando x 1 y x 2 en lugar de x 0 y x 1 . Continuamos este proceso, resolviendo para x 3 , x 4 , etc., hasta que alcancemos un nivel de precisión suficientemente alto (una diferencia suficientemente pequeña entre x n y x n −1 ):
Convergencia
El itera del método de la secante convergen a una raíz de si los valores iniciales y están lo suficientemente cerca de la raíz. El orden de convergencia es φ , donde
es la proporción áurea . En particular, la convergencia es superlineal, pero no del todo cuadrática .
Este resultado solo se mantiene bajo algunas condiciones técnicas, a saber, que ser dos veces diferenciables continuamente y la raíz en cuestión sea simple (es decir, con multiplicidad 1).
Si los valores iniciales no están lo suficientemente cerca de la raíz, entonces no hay garantía de que el método de la secante converja. No existe una definición general de "lo suficientemente cerca", pero el criterio tiene que ver con la "ondulación" de la función en el intervalo. Por ejemplo, si es diferenciable en ese intervalo y hay un punto donde en el intervalo, es posible que el algoritmo no converja.
Comparación con otros métodos de búsqueda de raíces
El método de la secante no requiere que la raíz permanezca entre corchetes, como lo hace el método de bisección , y por lo tanto no siempre converge. El método de la posición falsa (o regula falsi ) utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no aplica la fórmula en y , como el método de la secante, pero en y en la última iteración tal que y tiene un signo diferente. Esto significa que el método de la posición falsa siempre converge; sin embargo, solo con un orden lineal de convergencia. El horquillado con un orden superlineal de convergencia como método de la secante se puede lograr con mejoras en el método de posición falsa (ver Regula falsi § Mejoras en regula falsi ) como el método ITP o el método Illinois .
La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula del método de Newton
utilizando la aproximación en diferencias finitas
El método de la secante se puede interpretar como un método en el que la derivada se reemplaza por una aproximación y, por lo tanto, es un método cuasi-Newton .
Si comparamos el método de Newton con el método de la secante, vemos que el método de Newton converge más rápido (orden 2 contra φ ≈ 1.6). Sin embargo, el método de Newton requiere la evaluación de ambos y su derivado en cada paso, mientras que el método secante solo requiere la evaluación de . Por lo tanto, en ocasiones, el método de la secante puede ser más rápido en la práctica. Por ejemplo, si asumimos que evaluartoma tanto tiempo como evaluar su derivada y despreciamos todos los demás costos, podemos hacer dos pasos del método de la secante (disminuyendo el logaritmo del error en un factor φ 2 ≈ 2.6) por el mismo costo que un paso del método de Newton ( disminuyendo el logaritmo del error en un factor 2), por lo que el método de la secante es más rápido. Sin embargo, si consideramos el procesamiento en paralelo para la evaluación de la derivada, el método de Newton demuestra su valor, siendo más rápido en el tiempo, aunque sigue gastando más pasos.
Generalizaciones
El método de Broyden es una generalización del método de la secante a más de una dimensión.
El siguiente gráfico muestra la función f en rojo y la última línea secante en azul negrita. En la gráfica, la intersección en x de la recta secante parece ser una buena aproximación de la raíz de f .
Ejemplo computacional
A continuación, el método de la secante se implementa en el lenguaje de programación Python .
Luego se aplica para encontrar una raíz de la función f ( x ) = x 2 - 612 con puntos iniciales y
def método_secante ( f , x0 , x1 , iteraciones ): "" "Devuelve la raíz calculada con el método de la secante." "" para i en el rango ( iteraciones ): x2 = x1 - f ( x1 ) * ( x1 - x0 ) / flotar ( f ( x1 ) - f ( x0 )) x0 , x1 = x1 , x2 devuelve x2def f_example ( x ): retorno x ** 2 - 612raíz = método_secante ( f_ejemplo , 10 , 30 , 5 )print ( "Raíz: {} " . formato ( raíz )) # Raíz: 24.738633748750722
Notas
- ^ Papakonstantinou, J., El desarrollo histórico del método secante en 1-D , consultado el 29 de junio de 2011
Ver también
Referencias
- Avriel, Mordecai (1976). Programación no lineal: análisis y métodos . Prentice Hall. págs. 220-221. ISBN 0-13-623603-0.
- Allen, Myron B .; Isaacson, Eli L. (1998). Análisis numérico para ciencias aplicadas . John Wiley e hijos . págs. 188-195. ISBN 978-0-471-55266-6.
enlaces externos
- Notas del método secante , PPT, Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab en el Instituto de métodos numéricos holísticos
- Weisstein, Eric W. "Método secante" . MathWorld .