Teorema de Hammersley-Clifford
El teorema de Hammersley-Clifford es un resultado de la teoría de la probabilidad , la estadística matemática y la mecánica estadística que brinda las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una distribución de probabilidad estrictamente positiva (de eventos en un espacio de probabilidad ) [ aclaración necesaria ] puede representarse como eventos generados por un Red de Markov (también conocida como campo aleatorio de Markov ). Es el teorema fundamental de los campos aleatorios . [1] Establece que una distribución de probabilidad que tiene una masa estrictamente positiva oLa densidad satisface una de las propiedades de Markov con respecto a un grafo no dirigido G si y solo si es un campo aleatorio de Gibbs , es decir, su densidad se puede factorizar sobre las camarillas (o subgrafos completos ) del grafo.
La relación entre los campos aleatorios de Markov y Gibbs fue iniciada por Roland Dobrushin [2] y Frank Spitzer [3] en el contexto de la mecánica estadística . El teorema lleva el nombre de John Hammersley y Peter Clifford , quienes demostraron la equivalencia en un artículo inédito en 1971. [4] [5] Geoffrey Grimmett , [6] Preston [7] ofrecieron pruebas más sencillas utilizando el principio de inclusión-exclusión de forma independiente . y Sherman [8] en 1973, con una prueba adicional de Julian Besag en 1974. [9]
Es una cuestión trivial demostrar que un campo aleatorio de Gibbs satisface todas las propiedades de Markov . Como ejemplo de este hecho, véase lo siguiente:
En la imagen de la derecha, un campo aleatorio de Gibbs sobre el gráfico proporcionado tiene la forma . Si las variables y son fijas, entonces la propiedad global de Markov requiere que: (ver independencia condicional ), ya que forma una barrera entre y .
