En matemáticas , la medida de Gibbs , llamada así por Josiah Willard Gibbs , es una medida de probabilidad que se ve con frecuencia en muchos problemas de la teoría de la probabilidad y la mecánica estadística . Es una generalización del conjunto canónico a sistemas infinitos. El conjunto canónico da la probabilidad de que el sistema X esté en el estado x (de manera equivalente, de que la variable aleatoria X tenga el valor x ) como
Aquí, E ( x ) es una función del espacio de estados a los números reales; en aplicaciones físicas, E ( x ) se interpreta como la energía de la configuración x . El parámetro β es un parámetro libre; en física, es la temperatura inversa . La constante de normalización Z ( β ) es la función de partición. Sin embargo, en sistemas infinitos, la energía total ya no es un número finito y no puede usarse en la construcción tradicional de la distribución de probabilidad de un conjunto canónico. Los enfoques tradicionales en física estadística estudiaron el límite de las propiedades intensivas cuando el tamaño de un sistema finito se acerca al infinito (el límite termodinámico ). Cuando la función de energía se puede escribir como una suma de términos que involucran solo variables de un subsistema finito, la noción de una medida de Gibbs proporciona un enfoque alternativo. Las medidas de Gibbs fueron propuestas por teóricos de la probabilidad como Dobrushin , Lanford y Ruelle. y proporcionó un marco para estudiar directamente sistemas infinitos, en lugar de tomar el límite de los sistemas finitos.
Una medida es una medida de Gibbs si las probabilidades condicionales que induce en cada subsistema finito satisfacen una condición de consistencia: si todos los grados de libertad fuera del subsistema finito están congelados, el conjunto canónico para el subsistema sujeto a estas condiciones de frontera coincide con las probabilidades de Gibbs. medida condicionada a los grados de libertad congelados.
El teorema de Hammersley-Clifford implica que cualquier medida de probabilidad que satisfaga una propiedad de Markov es una medida de Gibbs para una elección apropiada de función de energía (definida localmente). Por lo tanto, la medida de Gibbs se aplica a problemas generalizados fuera de la física , tales como las redes de Hopfield , redes de Markov , redes lógicas de Markov , y juegos posibles limitadamente racionales de la teoría de juegos y la economía. Una medida de Gibbs en un sistema con interacciones locales (rango finito) maximiza la densidad de entropía para una densidad de energía esperada dada ; o, equivalentemente, minimiza la energía libre densidad.
La medida de Gibbs de un sistema infinito no es necesariamente única, en contraste con el conjunto canónico de un sistema finito, que es único. La existencia de más de una medida de Gibbs se asocia con fenómenos estadísticos como ruptura de simetría y coexistencia de fase .
El conjunto de medidas de Gibbs en un sistema es siempre convexo, [1] por lo que hay una medida de Gibbs única (en cuyo caso se dice que el sistema es " ergódico "), o hay infinitas (y el sistema se llama " no ergódico "). En el caso no ergódico, las medidas de Gibbs se pueden expresar como el conjunto de combinaciones convexas de un número mucho menor de medidas especiales de Gibbs conocidas como "estados puros" (que no deben confundirse con la noción relacionada pero distinta de estados puros en mecánica cuántica ). . En aplicaciones físicas, el hamiltoniano (la función de energía) generalmente tiene algún sentido de localidad , y los estados puros tienen la descomposición de grupospropiedad de que los "subsistemas distantes" son independientes. En la práctica, los sistemas físicamente realistas se encuentran en uno de estos estados puros.