fórmula de carácter Weyl

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En matemáticas , la fórmula de caracteres de Weyl en la teoría de la representación describe los caracteres de representaciones irreducibles de grupos de Lie compactos en términos de sus pesos más altos . ^[1] Fue demostrado por Hermann Weyl  ( 1925 , 1926a , 1926b ). Existe una fórmula estrechamente relacionada para el carácter de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple. ^[2] En el enfoque de Weyl a la teoría de la representación de grupos de Lie compactos conectados, la prueba de la fórmula del carácter es un paso clave para probar que cada elemento integral dominante surge realmente como el peso más alto de alguna representación irreductible. ^[3] Las consecuencias importantes de la fórmula de carácter son la fórmula de dimensión de Weyl y la fórmula de multiplicidad de Kostant .

Por definición, el carácter de una representación de G es la traza de , en función de un elemento de grupo . Las representaciones irreducibles en este caso son todas de dimensión finita (esto es parte del teorema de Peter-Weyl ); por lo que la noción de traza es la habitual del álgebra lineal. El conocimiento del carácter de da mucha información sobre sí mismo. ${\ estilo de visualización \ chi}$${\ estilo de visualización \ pi}$${\ estilo de visualización \ pi (g)}$${\ estilo de visualización g \ en G}$${\ estilo de visualización \ chi}$${\ estilo de visualización \ pi}$${\ estilo de visualización \ pi}$

La fórmula de Weyl es una fórmula cerrada para el carácter , en términos de otros objetos construidos a partir de G y su álgebra de Lie . ${\ estilo de visualización \ chi}$

La fórmula de caracteres se puede expresar en términos de representaciones de álgebras de Lie semisimples complejas o en términos de la teoría de representación (esencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos.

Sea una representación irreducible y de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple compleja . Supongamos que es una subálgebra de Cartan de . El carácter de es entonces la función definida por${\ estilo de visualización \ pi}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\displaystyle {\mathfrak{h}}}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\ estilo de visualización \ pi}$${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

El valor del carácter en es la dimensión de . Por consideraciones elementales, el carácter puede calcularse como${\ estilo de visualización H = 0}$${\ estilo de visualización \ pi}$

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