En matemáticas , un álgebra de Lie es semisimple si es una suma directa de álgebras de Lie simples ( álgebras de Lie no abelianas sin ideales propios distintos de cero ).
En todo el artículo, a menos que se indique lo contrario, un álgebra de Lie es un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo de característica 0. Para tal álgebra de Lie, si es distinto de cero, las siguientes condiciones son equivalentes:
- es semisimple;
- la forma de matar , κ (x, y) = tr (ad ( x ) ad ( y )), no es degenerada ;
- no tiene ideales abelianos distintos de cero;
- no tiene ideales resolubles distintos de cero ;
- el radical (ideal solucionable máximo) de es cero.
Significado
El significado de la semisimplicidad proviene en primer lugar de la descomposición de Levi , que establece que cada álgebra de Lie de dimensión finita es el producto semidirecto de un ideal resoluble (su radical) y un álgebra semisimple. En particular, no existe un álgebra de Lie distinta de cero que sea a la vez solucionable y semisimple.
Las álgebras de Lie semisimple tienen una clasificación muy elegante, en marcado contraste con las álgebras de Lie resolubles . Las álgebras de Lie semisimple sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero se clasifican completamente por su sistema de raíces , que a su vez se clasifican en los diagramas de Dynkin . Las álgebras semisimple sobre campos no algebraicamente cerrados pueden entenderse en términos de aquellos sobre el cierre algebraico, aunque la clasificación es algo más compleja; ver la forma real para el caso de álgebras de Lie semisimples reales, que fueron clasificadas por Élie Cartan .
Además, la teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples es mucho más limpia que la de las álgebras de Lie generales. Por ejemplo, la descomposición de Jordan en un álgebra de Lie semisimple coincide con la descomposición de Jordan en su representación; este no es el caso de las álgebras de Lie en general.
Si es semisimple, entonces . En particular, cada álgebra de Lie lineal semisimple es una subálgebra de, el álgebra de Lie lineal especial . El estudio de la estructura de constituye una parte importante de la teoría de la representación para las álgebras de Lie semisimple.
Historia
Wilhelm Killing (1888-1890) clasificó por primera vez las álgebras de Lie semisimple sobre los números complejos , aunque su demostración carecía de rigor. Su prueba fue hecha rigurosamente por Élie Cartan (1894) en su Ph.D. tesis, que también clasificó álgebras de Lie reales semisimples. Esto se refinó posteriormente, y la clasificación actual de los diagramas de Dynkin fue dada por Eugene Dynkin, de 22 años de edad, en 1947. Se han realizado algunas modificaciones menores (en particular por JP Serre), pero la prueba no ha cambiado en sus aspectos esenciales y puede ser encontrado en cualquier referencia estándar, como ( Humphreys 1972 ).
Propiedades básicas
- Todo ideal, cociente y producto de álgebras de Lie semisimple es de nuevo semisimple. [1]
- El centro de un álgebra de Lie semisimple es trivial (ya que el centro es un ideal abeliano). En otras palabras, la representación adjunta es inyectable. Además, la imagen resulta [2] para serde derivaciones en. Por eso,es un isomorfismo. [3] (Este es un caso especial del lema de Whitehead ).
- Como la representación adjunta es inyectiva, un álgebra de Lie semisimple es un álgebra de Lie lineal bajo la representación adjunta. Esto puede llevar a cierta ambigüedad, ya que cada álgebra de Lie ya es lineal con respecto a algún otro espacio vectorial ( teorema de Ado ), aunque no necesariamente a través de la representación adjunta. Pero en la práctica, esta ambigüedad rara vez ocurre.
- Si es un álgebra de Lie semisimple, entonces (porque es semisimple y abeliano). [4]
- Un álgebra de Lie de dimensión finita sobre un campo k de característica cero es semisimple si y solo si la extensión base es semisimple para cada extensión de campo . [5] Así, por ejemplo, un álgebra de Lie real de dimensión finita es semisimple si y sólo si su complexificación es semisimple.
Descomposición de Jordan
Cada endomorfismo x de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo de característica cero se puede descomponer de manera única en una parte semisimple (es decir, diagonalizable sobre el cierre algebraico) y una parte nilpotente.
que tales s y n conmutan entre sí. Por otra parte, cada uno de s y n es un polinomio en x . Esta es la descomposición de Jordan de x .
Lo anterior se aplica a la representación adjunta. de un álgebra de mentira semisimple . Un elemento x de se dice que es semisimple (resp. nilpotente) si es un operador semisimple (resp. nilpotente). [6] Si, entonces la descomposición abstracta de Jordan establece que x se puede escribir de forma única como:
dónde es semisimple, es nilpotente y . [7] Además, siconmuta con x , luego conmuta con ambos también.
Los factores de descomposición abstractos de Jordan a través de cualquier representación de en el sentido de que dada cualquier representación ρ,
es la descomposición de Jordan de ρ ( x ) en el álgebra de endomorfismo del espacio de representación. [8] (Esto se demuestra como consecuencia del teorema de reducibilidad completa de Weyl ; consulte el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa # Aplicación: preservación de la descomposición de Jordan ).
Estructura
Dejar ser un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. La estructura depuede describirse por una acción adjunta de cierta subálgebra distinguida sobre él, una subálgebra de Cartan . Por definición, [9] una subálgebra de Cartan (también llamada subálgebra toral máxima ) de es una subálgebra máxima tal que, para cada , es diagonalizable . Como resulta, es abeliano, por lo que todos los operadores en son simultáneamente diagonalizables . Para cada funcional lineal de , dejar
- .
(Tenga en cuenta que es el centralizador de.) Luego
Descomposición del espacio radicular - [10] Dada una subálgebra de Cartan, sostiene que y hay una descomposición (como un -módulo):
dónde es el conjunto de todos los funcionales lineales distintos de cero de tal que . Además, para cada,
- , que es la igualdad si .
- como álgebra de mentira.
- ; En particular,.
- ; en otras palabras,.
- Con respecto al formulario Killing B , son ortogonales entre sí si ; la restricción de B a es no degenerado.
(El elemento más difícil de mostrar es . Todas las pruebas estándar utilizan algunos hechos en la teoría de la representación de s l 2 {\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}} ; Por ejemplo, Serre utiliza el hecho de que un-módulo con un elemento primitivo de peso negativo es de dimensión infinita, lo que contradice .)
Dejar con las relaciones de conmutación ; es decir, el corresponden a la base estándar de .
Los funcionales lineales en se llaman las raíces de relativo a . Las raíces se extienden (ya que si , luego es el operador cero; es decir, está en el centro, que es cero.) Además, de la teoría de la representación de , se deducen las siguientes propiedades integrales y de simetría de : para cada ,
- El endomorfismo
- es un número entero.
Tenga en cuenta que tiene las propiedades (1) y (2) el conjunto de punto fijo es , Lo que significa que es la reflexión con respecto al hiperplano correspondiente a . Lo anterior luego dice quees un sistema raíz .
De la teoría general de un sistema de raíces se sigue que contiene una base de tal que cada raíz es una combinación lineal de con coeficientes enteros del mismo signo; las raicesse llaman raíces simples . Dejar, etc. Entonces el elementos (llamados generadores Chevalley ) generancomo álgebra de mentira. Además, satisfacen las relaciones (llamadas relaciones de Serre ): con,
- .
Lo contrario de esto también es cierto: es decir, el álgebra de Lie generada por los generadores y las relaciones como las anteriores es un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) que tiene la descomposición del espacio raíz como se indicó anteriormente (siempre que el es una matriz de Cartan ). Este es un teorema de Serre . En particular, dos álgebras de Lie semisimples son isomorfas si tienen el mismo sistema de raíces.
La implicación de la naturaleza axiomática de un sistema de raíces y el teorema de Serre es que uno puede enumerar todos los sistemas de raíces posibles; de ahí, "todas las posibles" álgebras de Lie semisimples (de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero).
El grupo de Weyl es el grupo de transformaciones lineales de generado por el 's. El grupo de Weyl es una importante simetría del problema; por ejemplo, los pesos de cualquier representación de dimensión finita deson invariantes bajo el grupo de Weyl. [11]
Ejemplo de descomposición del espacio raíz en sl n (C)
Para y la subálgebra de Cartan de matrices diagonales, definir por
- ,
dónde denota la matriz diagonal con en la diagonal. Entonces la descomposición viene dada por
dónde
para el vector en con la base estándar (matriz), es decir representa el vector base en el -th fila y -ésima columna. Esta descomposición de tiene un sistema raíz asociado:
sl 2 (C)
Por ejemplo, en la descomposición es
y el sistema raíz asociado es
sl 3 (C)
En la descomposición es
y el sistema raíz asociado viene dado por
Ejemplos de
Como se señaló en #structure , Semisimple álgebras de Lie más(o más generalmente un campo algebraicamente cerrado de característica cero) se clasifican por el sistema de raíces asociado a sus subálgebras de Cartan, y los sistemas de raíces, a su vez, se clasifican por sus diagramas de Dynkin. Ejemplos de álgebras de Lie semisimples, las álgebras de Lie clásicas , con notación procedente de sus diagramas de Dynkin , son:
- , el álgebra de Lie lineal especial .
- , el álgebra de Lie ortogonal especial de dimensión impar .
- , el álgebra de Lie simpléctica .
- , el álgebra de Lie ortogonal especial par dimensional ().
La restricción en el la familia es necesaria porque es unidimensional y conmutativo y, por tanto, no semisimple.
Estas álgebras de Lie están numeradas para que n sea el rango . Casi todas estas álgebras de Lie semisimples son en realidad simples y los miembros de estas familias son casi todos distintos, excepto por algunas colisiones en rango pequeño. Por ejemplo y . Estas cuatro familias, junto con cinco excepciones ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 ), son de hecho las únicas álgebras de Lie simples sobre los números complejos.
Clasificación
Cada álgebra de Lie semisimple sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 es una suma directa de álgebras de Lie simples (por definición), y las álgebras de Lie simples finitas se dividen en cuatro familias: A n , B n , C n y D n - con cinco excepciones E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Las álgebras de Lie simples se clasifican por los diagramas de Dynkin conectados , que se muestran a la derecha, mientras que las álgebras de Lie semisimple corresponden a diagramas de Dynkin no necesariamente conectados, donde cada componente del diagrama corresponde a un sumando de la descomposición del álgebra de Lie semisimple en álgebras de Lie simples .
La clasificación procede considerando una subálgebra de Cartan (ver más abajo) y la acción adjunta del álgebra de Lie en esta subálgebra. El sistema raíz de la acción determina entonces el álgebra de Lie original y debe tener una forma muy restringida, que puede ser clasificada por los diagramas de Dynkin. Consulte la sección a continuación que describe las subálgebras y los sistemas de raíces de Cartan para obtener más detalles.
La clasificación es ampliamente considerada como uno de los resultados más elegantes en matemáticas: una breve lista de axiomas produce, a través de una prueba relativamente corta, una clasificación completa pero no trivial con una estructura sorprendente. Esto debería compararse con la clasificación de grupos finitos simples , que es significativamente más complicada.
La enumeración de las cuatro familias no es redundante y consta solo de álgebras simples si para A n ,para B n ,para C n , ypara D n . Si se empieza a numerar más abajo, la enumeración es redundante y se tienen isomorfismos excepcionales entre álgebras de Lie simples, que se reflejan en los isomorfismos de los diagramas de Dynkin ; la E n también se puede extender hacia abajo, pero por debajo de E 6 son isomorfas a otras álgebras no excepcionales.
En un campo no algebraicamente cerrado, la clasificación es más complicada: se clasifican las álgebras de Lie simples sobre el cierre algebraico, luego, para cada uno de estos, se clasifican las álgebras de Lie simples sobre el campo original que tienen esta forma (sobre el cierre). Por ejemplo, para clasificar las álgebras de Lie reales simples, se clasifican las álgebras de Lie reales con una complejidad determinada, que se conocen como formas reales del álgebra de Lie compleja; esto se puede hacer mediante diagramas de Satake , que son diagramas de Dynkin con datos adicionales ("decoraciones"). [12]
Teoría de representación de álgebras de Lie semisimple
Dejar ser un álgebra de Lie semisimple (de dimensión finita) sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Entonces, como en #Structure , dónde es el sistema raíz. Elija las raíces simples en; una raíz de entonces se llama positivo y se denota porsi es una combinación lineal de raíces simples con coeficientes enteros no negativos. Dejar, que es una subálgebra resoluble máxima de , la subálgebra de Borel .
Sea V un simple (posiblemente de dimensión infinita)-módulo. Si V llega a admitir un-peso vector , [13] Entonces depende única de escalamiento y es llamado el vector de peso más alto de V . También es un-peso vector y el -peso de , un funcional lineal de , Se llama el peso más alto de V . Los hechos básicos pero no triviales [14] son (1) para cada funcional lineal, existe un simple -módulo teniendo como su peso más alto y (2) dos módulos simples que tienen el mismo peso más alto son equivalentes. En resumen, existe una biyección entre y el conjunto de las clases de equivalencia de simples -módulos que admiten un vector de peso Borel.
Para las aplicaciones, a menudo uno está interesado en una simple dimensión finita -módulo (una representación irreducible de dimensión finita). Este es especialmente el caso cuandoes el álgebra de Lie de un grupo de Lie (o la complejización del mismo), ya que, a través de la correspondencia de Lie , una representación del álgebra de Lie puede integrarse a una representación de grupo de Lie cuando se superan las obstrucciones. El siguiente criterio entonces aborda esta necesidad: por la cámara de Weyl positiva , nos referimos al cono convexo dónde es un vector único tal que . A continuación, el criterio dice: [15]
- si y solo si, para cada raíz positiva , (1) es un número entero y (2) yace en .
Un funcional lineal satisfacer la condición equivalente anterior se denomina ponderación integral dominante. Por tanto, en resumen, existe una biyección entre los pesos integrales dominantes y las clases de equivalencia de simples dimensiones finitas.-módulos, el resultado conocido como el teorema del mayor peso . El carácter de un módulo simple de dimensión finita por turnos se calcula mediante la fórmula de caracteres de Weyl .
El teorema de Weyl dice que, sobre un campo de característica cero, cada módulo de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimplees completamente reducible ; es decir, es una suma directa de simples-módulos. Por lo tanto, los resultados anteriores se aplican a las representaciones de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple.
Álgebra de mentira semisimple real
Para un álgebra de Lie semisimple sobre un campo que tiene una característica cero pero que no está algebraicamente cerrado, no existe una teoría de la estructura general como la de aquellas sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Pero en el campo de los números reales, todavía existen los resultados de la estructura.
Dejar ser un álgebra de Lie semisimple real de dimensión finita y la complejidad de la misma (que es nuevamente semisimple). El álgebra de mentira realse llama una forma real de. Una forma real se llama forma compacta si la forma Killing en ella es negativa-definida; es necesariamente el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto (de ahí el nombre).
Estuche compacto
Suponer es una forma compacta y un subespacio abeliano máximo. Uno puede mostrar (por ejemplo, a partir del hecho es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto) que consiste en matrices sesgadas-hermitianas, diagonalizables sobre con valores propios imaginarios. Por eso,es una subálgebra de Cartan dey resulta en la descomposición del espacio raíz (cf. #Estructura )
donde cada tiene un valor real en ; por lo tanto, se puede identificar con un funcional lineal real en el espacio vectorial real.
Por ejemplo, deja y tomar el subespacio de todas las matrices diagonales. Nota. Dejar ser el funcional lineal en dada por por . Entonces para cada,
dónde es la matriz que tiene 1 en el -th spot y cero en otros lugares. Por lo tanto, cada raíz es de la forma y la descomposición del espacio raíz es la descomposición de matrices: [16]
Caso no compacto
Suponer no es necesariamente un formulario compacto (es decir, la firma del formulario Killing no es del todo negativa). Supongamos, además, que tiene una involución de Cartan. y deja ser la descomposición del espacio propio de , dónde son los espacios propios para 1 y -1, respectivamente. Por ejemplo, si y la transposición negativa, entonces .
Dejar ser un subespacio abeliano máximo. Ahora, consta de matrices simétricas (con respecto a un producto interno adecuado) y, por lo tanto, los operadores en son simultáneamente diagonalizables, con valores propios reales. Al repetir los argumentos para el campo base algebraicamente cerrado, se obtiene la descomposición (llamada descomposición del espacio de raíces restringido ): [17]
dónde
- los elementos en se llaman raíces restringidas ,
- para cualquier funcional lineal ; En particular,,
- .
Es más, es un sistema de raíces pero no necesariamente reducido (es decir, puede suceder son ambas raíces).
El caso de
Si , luego puede tomarse como la subálgebra diagonal de , que consta de matrices diagonales cuyas entradas diagonales suman cero. Desde tiene dimensión , vemos eso tiene rango .
Vectores de la raíz en este caso puede tomarse como las matrices con , dónde es la matriz con un 1 en el mancha y ceros en otros lugares. [18] Si es una matriz diagonal con entradas diagonales , entonces nosotros tenemos
- .
Por lo tanto, las raíces de son los funcionales lineales dada por
- .
Después de identificar con su dual, las raíces se convierten en los vectores en el espacio de -tuplas que suman cero. Este es el sistema raíz conocido como A norte - 1 {\ Displaystyle A_ {n-1}} en el etiquetado convencional.
El reflejo asociado a la raíz actúa sobre transponiendo el y entradas diagonales. El grupo Weyl es entonces solo el grupo de permutación en elementos, actuando permutando las entradas diagonales de matrices en .
Generalizaciones
Las álgebras de Lie semisimple admiten ciertas generalizaciones. En primer lugar, muchas afirmaciones que son verdaderas para álgebras de Lie semisimple son verdaderas más generalmente para álgebras de Lie reductivas . De manera abstracta, un álgebra de Lie reductiva es aquella cuya representación adjunta es completamente reducible , mientras que concretamente, un álgebra de Lie reductiva es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana ; por ejemplo, es semisimple, y es reductivo. Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimple solo dependen de la reducibilidad.
Muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimple / reductivas complejas son verdaderas no solo para las álgebras de Lie semisimple / reductivas sobre campos algebraicamente cerrados, sino más generalmente para las álgebras de Lie semisimple / reductivas divididas sobre otros campos: las álgebras de Lie semisimple / reductive sobre campos algebraicamente cerrados siempre se dividen , pero en otros campos este no es siempre el caso. Las álgebras de Lie divididas tienen esencialmente la misma teoría de representación que las álgebras de Lie semsimple sobre campos algebraicamente cerrados, por ejemplo, la subálgebra de Cartan dividida juega el mismo papel que la subálgebra de Cartan sobre campos algebraicamente cerrados. Este es el enfoque seguido en ( Bourbaki 2005 ), por ejemplo, que clasifica las representaciones de álgebras de Lie semisimples / reductivas divididas.
Grupos semisimple y reductivo
Un grupo de Lie conectado se llama semisimple si su álgebra de Lie es un álgebra de Lie semisimple, es decir, una suma directa de álgebras de Lie simples. Se llama reductiva si su álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples y triviales (unidimensionales). Los grupos reductivos ocurren naturalmente como simetrías de varios objetos matemáticos en álgebra, geometría y física. Por ejemplo, el grupode simetrías de un espacio vectorial real n- dimensional (equivalentemente, el grupo de matrices invertibles) es reductivo.
Ver también
- Álgebra de mentiras
- Sistema raíz
- Representación del álgebra de mentiras
- Grupo compacto
- Grupo de mentira simple
- Subálgebra borel
- Teorema de Jacobson-Morozov
Referencias
- ^ Serre 2000 , cap. II, § 2, Corolario del Teorema 3.
- ^ Dado que la forma de Killing B no es degenerada, dada una derivación D , hay una x tal quepara todo y y luego, mediante un cálculo sencillo,.
- ^ Serre 2000 , cap. II, § 4, Teorema 5.
- ^ Serre 2000 , cap. II, § 3, Corolario del Teorema 4.
- ↑ Jacobson 1979 , Corolario al final del cap. III, párrafo 4.
- ^ Serre 2000 , cap. II, § 5. Definición 3.
- ^ Serre 2000 , cap. II, § 5. Teorema 6.
- ^ Serre 2000 , cap. II, § 5. Teorema 7.
- ^ Ésta es una definición de una subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie semisimple y coincide con la general.
- ^ Serre 2000 , cap. VI, § 1.
- ^ Teorema 9.3 de Hall 2015
- ^ Knapp 2002 Sección VI.10
- ^ A-weight vector también se denomina elemento primitivo , especialmente en los libros de texto más antiguos.
- ↑ En los libros de texto, estos hechos suelen establecerse mediante la teoría de los módulos de Verma .
- ^ Serre 2000 , cap. VII, § 4, Teorema 3.
- ^ Knapp , cap. IV, § 1, Ejemplo 1.
- ^ Knapp , cap. V, § 2, Proposición 5.9.
- ^ Salón 2015 Sección 7.7.1
- Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Álgebras de mentira semi-simples divididas" , Elementos de las matemáticas: Grupos de mentiras y álgebras de Lie: Capítulos 7-9
- Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006), Introducción a las álgebras de Lie (1a ed.), Springer, ISBN 1-84628-040-0.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, James E. (1972), Introducción a las álgebras de mentiras y la teoría de la representación , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
- Jacobson, Nathan , álgebras de Lie , republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
- Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción (2a ed.), Birkhäuser
- Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], traducido por Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4.
- Varadarajan, VS (2004), Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations (1a ed.), Springer, ISBN 0-387-90969-9.