En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, la función de partición de Kostant , introducida por Bertram Kostant ( 1958 , 1959 ), de un sistema de raíces es el número de formas en que se puede representar un vector ( peso ) como una combinación lineal de números enteros no negativos de las raíces positivas . Kostant lo usó para reescribir la fórmula del carácter de Weyl como una fórmula (la fórmula de multiplicidad de Kostant ) para la multiplicidad de un peso de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple . Una fórmula alternativa, que es más eficiente computacionalmente en algunos casos, es la fórmula de Freudenthal .
La función de partición de Kostant también se puede definir para álgebras de Kac-Moody y tiene propiedades similares.
Un ejemplo
Considere los sistemas de raíces A2, con raíces positivas , , y . Si un elemento se puede expresar como una combinación lineal de enteros no negativos de , , y , entonces desde , también se puede expresar como una combinación lineal entera no negativa de y :
con y siendo enteros no negativos. Esta expresión da una forma de escribircomo una combinación de números enteros no negativos de raíces positivas; otras expresiones se pueden obtener reemplazando con algunas veces. Podemos hacer el reemplazo tiempos, donde . Por lo tanto, si la función de partición de Kostant se denota por, obtenemos la fórmula
- .
Este resultado se muestra gráficamente en la imagen de la derecha. Si un elemento no es de la forma , luego .
Relación con la fórmula del carácter de Weyl
Invertir el denominador de Weyl
Para cada raíz y cada , podemos aplicar formalmente la fórmula para la suma de una serie geométrica para obtener
donde no nos preocupamos por la convergencia, es decir, la igualdad se entiende a nivel de series de poder formales. Usando la fórmula del denominador de Weyl
obtenemos una expresión formal para el recíproco del denominador de Weyl: [1]
Aquí, la primera igualdad es tomando un producto sobre las raíces positivas de la fórmula de la serie geométrica y la segunda igualdad es contando todas las formas en que un exponencial dado puede ocurrir en el producto.
Reescribiendo la fórmula del personaje
Este argumento muestra que podemos convertir la fórmula del carácter de Weyl para la representación irreducible con mayor peso:
de un cociente a un producto:
La fórmula de la multiplicidad
Usando la reescritura anterior de la fórmula del carácter, es relativamente fácil escribir el carácter como una suma de exponenciales. Los coeficientes de estos exponenciales son las multiplicidades de los pesos correspondientes. Obtenemos así una fórmula para la multiplicidad de un peso dado en la representación irreductible con mayor peso : [2]
- .
Este resultado es la fórmula de multiplicidad de Kostant .
El término dominante en esta fórmula es el término ; la contribución de este término es, que es solo la multiplicidad de en el módulo Verma con mayor peso. Si está lo suficientemente lejos dentro de la cámara fundamental de Weyl y está suficientemente cerca de , puede suceder que todos los demás términos de la fórmula sean cero. Específicamente, a menos que es más alto que , el valor de la función de partición Kostant en será cero. Por lo tanto, aunque la suma es nominalmente sobre todo el grupo de Weyl, en la mayoría de los casos, el número de términos distintos de cero es menor que el orden del grupo de Weyl.
Referencias
- ^ Salón 2015 Proposición 10.27
- ^ Teorema de Hall 2015 10.29
Fuentes
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, JE Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación, Springer, 1972.
- Kostant, Bertram (1958), "Una fórmula para la multiplicidad de un peso", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , Academia Nacional de Ciencias, 44 (6): 588–589, doi : 10.1073 / pnas.44.6.588 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 89667 , MR 0099387 , PMC 528626 , PMID 16590246
- Kostant, Bertram (1959), "Una fórmula para la multiplicidad de un peso", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 93 (1): 53–73, doi : 10.2307 / 1993422 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993422 , MR 0109192