En teoría de números , el teorema de la norma de Hasse establece que si L / K es una extensión cíclica de campos numéricos , entonces si un elemento distinto de cero de K es una norma local en todas partes, entonces es una norma global. Aquí, ser una norma global significa ser un elemento k de K tal que hay un elemento l de L con; en otras palabras, k es una norma relativa de algún elemento del campo de extensión L. Ser una norma local significa que para algún primo p de K y algún primo P de L que se encuentra sobre K, entonces k es una norma de L P ; aquí el "primo" p puede ser una valoración de Arquímedes, y el teorema es un enunciado sobre terminaciones en todas las valoraciones, arquímedes y no arquímedes.
El teorema ya no es cierto en general si la extensión es abeliana pero no cíclica. Hasse dio el contraejemplo de que 3 es una norma local en todas partes para la extensiónpero no es una norma global. Serre y Tate demostraron que otro contraejemplo lo da el campo donde cada cuadrado racional es una norma local en todas partes excepto no es una norma global.
Este es un ejemplo de un teorema que establece un principio local-global .
El teorema completo se debe a Hasse ( 1931 ). El caso especial cuando el grado n de la extensión es 2 fue probado por Hilbert (1897) , y el caso especial cuando n es primo fue probado por Furtwangler (1902) .
El teorema de la norma de Hasse se puede deducir del teorema de que un elemento del grupo de cohomología de Galois H 2 ( L / K ) es trivial si es trivial localmente en todas partes, lo que a su vez es equivalente al teorema profundo de que la primera cohomología del idele el grupo de clase desaparece. Esto es cierto para todas las extensiones finitas de Galois de campos numéricos, no solo para los cíclicos. Para las extensiones cíclicas, el grupo H 2 ( L / K ) es isomorfo al grupo de cohomología Tate H 0 ( L / K ) que describe qué elementos son normas, por lo que para las extensiones cíclicas se convierte en el teorema de Hasse de que un elemento es una norma si es una norma local en todas partes.
Ver también
- Teorema de Grunwald-Wang , acerca de cuándo un elemento que es un poder en todas partes a nivel local es un poder.
Referencias
- Hasse, H. (1931), "Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung über das allgemeine Normenrestsymbol" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 64–69
- H. Hasse, "A history of class field theory", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría algebraica de números , Academic Press , 1973. Cap.XI.
- G. Janusz, Campos numéricos algebraicos , Academic Press, 1973. Teorema V.4.5, p. 156