En matemáticas , la cohomología de Galois es el estudio de la cohomología de grupo de los módulos de Galois , es decir, la aplicación del álgebra homológica a los módulos de los grupos de Galois . Un grupo G de Galois asociado a una extensión de campo L / K actúa de forma natural sobre algunos grupos abelianos , por ejemplo los construidos directamente a partir de L , pero también a través de otras representaciones de Galoisque puede derivarse por medios más abstractos. La cohomología de Galois explica la forma en que la toma de elementos invariantes de Galois no es un funtor exacto .
Historia
La teoría actual de la cohomología de Galois se formó alrededor de 1950, cuando se comprendió que la cohomología de Galois de grupos de clases ideales en la teoría algebraica de números era una forma de formular la teoría de campos de clases , en el momento en que estaba en el proceso de deshacerse de las conexiones con L-funciones . La cohomología de Galois no asume que los grupos de Galois sean grupos abelianos, por lo que esta era una teoría no abeliana . Se formuló de manera abstracta como una teoría de la formación de clases . Dos desarrollos de la década de 1960 cambiaron la posición. En primer lugar, la cohomología de Galois apareció como la capa fundamental de la teoría de la cohomología étale (en términos generales, la teoría que se aplica a los esquemas de dimensión cero). En segundo lugar, la teoría del campo de clase no abeliana se lanzó como parte de la filosofía de Langlands .
Los primeros resultados identificables como cohomología de Galois se conocían mucho antes, en la teoría algebraica de números y la aritmética de curvas elípticas . El teorema de la base normal implica que el primer grupo de cohomología del grupo aditivo de L desaparecerá; este es un resultado de las ampliaciones de campo generales, pero Richard Dedekind lo conocía de alguna forma . El resultado correspondiente para el grupo multiplicativo se conoce como Teorema 90 de Hilbert , y se conocía antes de 1900. La teoría de Kummer fue otra parte tan temprana de la teoría, dando una descripción del homomorfismo de conexión proveniente del m -ésimo mapa de potencia .
De hecho, durante un tiempo, el caso multiplicativo de un ciclo 1 para grupos que no son necesariamente cíclicos se formuló como la solubilidad de las ecuaciones de Noether , nombradas por Emmy Noether ; aparecen bajo este nombre en el tratamiento de Emil Artin de la teoría de Galois, y pueden haber sido folclore en la década de 1920. El caso de 2-cociclos para el grupo multiplicativo es el del grupo Brauer , y las implicaciones parecen haber sido bien conocidas por los algebristas de los años treinta.
En otra dirección, la de los torsores , estos ya estaban implícitos en los argumentos de descenso infinito de Fermat para las curvas elípticas . Se hicieron numerosos cálculos directos, y la demostración del teorema de Mordell-Weil tuvo que proceder mediante algún sustituto de una prueba de finitud para un grupo H 1 particular . La naturaleza 'retorcida' de los objetos sobre campos que no están algebraicamente cerrados , que no son isomórficos pero que lo son sobre el cierre algebraico , también se conoció en muchos casos vinculado a otros grupos algebraicos (como formas cuadráticas , álgebras simples , Severi-Brauer variedades ), en la década de 1930, antes de que llegara la teoría general.
Las necesidades de la teoría de números se expresaron en particular por el requisito de tener el control de un principio local-global para la cohomología de Galois. Esto se formuló mediante resultados en la teoría de campos de clases, como el teorema de la norma de Hasse . En el caso de las curvas elípticas, condujo a la definición clave del grupo Tate-Shafarevich en el grupo Selmer , que es la obstrucción al éxito de un principio local-global. A pesar de su gran importancia, por ejemplo en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , resultó muy difícil controlarlo, hasta que los resultados de Karl Rubin dieron una forma de mostrar en algunos casos que era finito (un resultado generalmente creído, ya que su orden conjetural fue predicho por una fórmula de función L).
El otro desarrollo importante de la teoría, que también involucró a John Tate, fue el resultado de la dualidad Tate-Poitou .
Técnicamente hablando, G puede ser un grupo lucrativo , en cuyo caso las definiciones deben ajustarse para permitir solo cochains continuas.
Referencias
- Serre, Jean-Pierre (2002), cohomología de Galois , Springer Monographs in Mathematics, Traducido del francés por Patrick Ion , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, MR 1867431 , Zbl 1004.12003, traducción de Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
- Milne, James S. (2006), Teoremas de la dualidad aritmética (2a ed.), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6, MR 2261462 , Zbl 1127.14001
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001