Principio maximal de Hausdorff
En matemáticas , el principio maximal de Hausdorff es una formulación alternativa y anterior del lema de Zorn demostrado por Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982: 168). Establece que en cualquier conjunto parcialmente ordenado , todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado.
El principio maximal de Hausdorff es uno de los muchos enunciados equivalentes al axioma de elección sobre ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). El principio también se denomina teorema de maximalidad de Hausdorff o lema de Kuratowski (Kelley 1955: 33).
El principio maximal de Hausdorff establece que, en cualquier conjunto parcialmente ordenado , todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto maximal totalmente ordenado (un subconjunto totalmente ordenado que, si se amplía de alguna manera, no permanece totalmente ordenado). En general, puede haber muchos subconjuntos máximos totalmente ordenados que contengan un subconjunto dado totalmente ordenado.
Una forma equivalente del principio maximal de Hausdorff es que en todo conjunto parcialmente ordenado existe un subconjunto maximal totalmente ordenado. Para probar que este enunciado se sigue de la forma original, sea A un conjunto parcialmente ordenado. Entonces es un subconjunto totalmente ordenado de A , por lo que existe un subconjunto totalmente ordenado máximo que contiene , por lo tanto, en particular, A contiene un subconjunto totalmente ordenado máximo. Para la dirección inversa, sea A un conjunto parcialmente ordenado y T un subconjunto totalmente ordenado de A. Después
está parcialmente ordenado por inclusión de conjuntos , por lo tanto contiene un subconjunto maximal totalmente ordenado P . Entonces el conjunto satisface las propiedades deseadas.
La prueba de que el principio maximal de Hausdorff es equivalente al lema de Zorn es muy similar a esta prueba.