Método de encubrimiento de Heaviside

El método de encubrimiento de Heaviside , que lleva el nombre de Oliver Heaviside , es un enfoque posible para determinar los coeficientes al realizar la expansión de fracción parcial de una función racional . ^[1]

Método

La separación de una expresión algebraica fraccionaria en fracciones parciales es el proceso inverso de combinar fracciones convirtiendo cada fracción al mínimo común denominador (MCD) y sumando los numeradores. Esta separación se puede lograr mediante el método de encubrimiento de Heaviside, otro método para determinar los coeficientes de una fracción parcial. El caso uno tiene expresiones fraccionarias donde los factores en el denominador son únicos. El caso dos tiene expresiones fraccionarias donde algunos factores pueden repetirse como potencias de un binomio.

En cálculo integral, querríamos escribir una expresión algebraica fraccionaria como la suma de sus fracciones parciales para tomar la integral de cada fracción simple por separado. Una vez que se ha factorizado el denominador original, D ₀ , establecemos una fracción para cada factor en el denominador . Podemos usar una D con subíndice para representar el denominador de las respectivas fracciones parciales que son los factores en D ₀ . Las letras A, B, C, D, E, etc. representarán los numeradores de las respectivas fracciones parciales. Cuando un término de fracción parcial tiene un binomio único (es decir, no repetido) en el denominador, el numerador es un residuo de la función definida por la fracción de entrada.

Calculamos cada numerador respectivo (1) tomando la raíz del denominador (es decir, el valor de x que hace que el denominador sea cero) y (2) luego sustituyendo esta raíz en la expresión original pero ignorando el factor correspondiente en el denominador. Cada raíz de la variable es el valor que daría un valor indefinido a la expresión ya que no dividimos por cero.

Fórmula general para un denominador cúbico con tres raíces distintas :

${\displaystyle {\frac {\ell x^{2}+mx+n}{(x-a)(x-b)(x-c)}}={\frac {A}{(x-a)}}+{\frac {B}{(x-b)}}+{\frac {C}{(x-c)}}}$

Donde

${\displaystyle A={\frac {\ell a^{2}+ma+n}{(a-b)(a-c)}};}$

y donde

${\displaystyle B={\frac {\ell b^{2}+mb+n}{(b-c)(b-a)}};}$

y donde

${\displaystyle C={\frac {\ell c^{2}+mc+n}{(c-a)(c-b)}}.}$

Caso uno

Factoriza la expresión en el denominador. Establece una fracción parcial para cada factor en el denominador. Aplica la regla de encubrimiento para resolver el nuevo numerador de cada fracción parcial.

Ejemplo

${\displaystyle {\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}+{\frac {C}{x+3}}}$

Establece una fracción parcial para cada factor en el denominador. Con este marco se aplica la regla de encubrimiento para resolver Un , B , y C .

1. D ₁ es x + 1; ajústelo a cero. Esto da el residuo de A cuando x = −1.

2. Luego, sustituya este valor de x en la expresión fraccionaria, pero sin D ₁ .

3. Ponga este valor a medida que el valor de A .

Procederá de manera similar para B y C .

D ₂ es x + 2; Para el residuo B use x = −2.

D ₃ es x + 3; Para el residuo C, use x = −3.

Por lo tanto, para resolver A , use x = −1 en la expresión pero sin D ₁ :

${\displaystyle {\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+2)(x+3)}}={\frac {3-12+11}{(1)(2)}}={\frac {2}{2}}=1=A.}$

Por lo tanto, para resolver B , use x = −2 en la expresión pero sin D ₂ :

${\displaystyle {\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+3)}}={\frac {12-24+11}{(-1)(1)}}={\frac {-1}{(-1)}}=+1=B.}$

Por lo tanto, para resolver C , use x = −3 en la expresión pero sin D ₃ :

${\displaystyle {\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)}}={\frac {27-36+11}{(-2)(-1)}}={\frac {2}{(+2)}}=+1=C.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {3x^{2}+12x+11}{(x+1)(x+2)(x+3)}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x+2}}+{\frac {1}{x+3}}}$

Caso dos

Cuando los factores del denominador incluyen potencias de una expresión,

1. Configure una fracción parcial para cada factor único y cada potencia menor de D;
2. Configure una ecuación que muestre la relación de los numeradores si todos se convirtieran a la pantalla LCD.

A partir de la ecuación de numeradores, resolvemos para cada numerador, A, B, C, D, etc. Esta ecuación de los numeradores es una identidad absoluta, verdadera para todos los valores de x. Entonces, podemos seleccionar cualquier valor de x y resolver para el numerador.

Ejemplo

${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{1-2x}}}$

Aquí, configuramos una fracción parcial para cada potencia descendente del denominador. Luego, resolvemos los numeradores, A y B. Como es un factor repetido, ahora necesitamos encontrar dos números, por lo que necesitamos una relación adicional para resolver ambos. Para escribir la relación de numeradores, la segunda fracción necesita otro factor de para convertirla al LCD, dándonos . En general, si un factor binomial se eleva a la potencia de , entonces se necesitarán constantes , cada una de las cuales aparece dividida por potencias sucesivas , donde va de 1 a . La regla de encubrimiento se puede usar para encontrar , pero aún así se llama residuo . Aquí ,${\displaystyle (1-2x)}$${\displaystyle (1-2x)}$${\displaystyle 3x+5=A+B(1-2x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle (1-2x)^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle A=A_{2}}$, y ${\displaystyle B=A_{1}}$

Para resolver  :${\displaystyle A}$

${\displaystyle A}$puede ser resuelto estableciendo el denominador de la primera fracción a cero, .${\displaystyle 1-2x=0}$

Resolver para da el valor de encubrimiento para : cuándo .${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x=1/2}$

Cuando sustituimos este valor , obtenemos:${\displaystyle x=1/2}$

${\displaystyle 3\left({\frac {1}{2}}\right)+5=A+B(0)}$

${\displaystyle A={\frac {3}{2}}+5={\frac {13}{2}}}$

Para resolver  :${\displaystyle B}$

Dado que la ecuación de los numeradores, aquí, es verdadera para todos los valores de , elija un valor y utilícelo para resolverlo .${\displaystyle 3x+5=A+B(1-2x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle B}$

Como hemos resuelto para el valor de arriba , podemos usar ese valor para resolver .${\displaystyle A}$${\displaystyle A=13/2}$${\displaystyle B}$

Podemos elegir  , usar  y luego resolver  :${\displaystyle x=0}$${\displaystyle A=13/2}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\0+5&={\frac {13}{2}}+B(1+0)\\{\frac {10}{2}}&={\frac {13}{2}}+B\\-{\frac {3}{2}}&=B\\\end{aligned}}}$

Podemos elegir  , luego resolver  :${\displaystyle x=1}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\3+5&={\frac {13}{2}}+B(1-2)\\8&={\frac {13}{2}}+B(-1)\\{\frac {16}{2}}&={\frac {13}{2}}-B\\B&=-{\frac {3}{2}}\end{aligned}}}$

Podemos elegir  . Resuelve para  :${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5&=A+B(1-2x)\\-3+5&={\frac {13}{2}}+B(1+2)\\{\frac {4}{2}}&={\frac {13}{2}}+3B\\-{\frac {9}{2}}&=3B\\-{\frac {3}{2}}&=B\end{aligned}}}$

Por eso,

${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}},}$

o

${\displaystyle {\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13}{2(1-2x)^{2}}}-{\frac {3}{2(1-2x)}}}$

Referencias

1. Cálculo y geometría analítica séptima edición, Thomas / Finney, 1988, págs. 482-489

enlaces externos

• http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma225/handouts/heavyside.pdf
• MIT 18.03 Notas sobre el método de encubrimiento de Heaviside por el profesor Arthur Mattuck .