Weber nació en Colonia y estudió primero en Aquisgrán y luego en la Musikhochschule Köln . Allí, entre otros, sus maestros fueron Hans Bachem (órgano) y Heinrich Lemacher (armonía y teoría). Después de algunos años como cantor en la iglesia de la ciudad en Mülheim an der Ruhr , trabajó como profesor de órgano y teoría en diferentes escuelas de música religiosa, entre otros más de 25 años en la Katholische Hochschule für Kirchenmusik St. Gregorius in Aachen y por último en la Robert Schumann Hochschule Düsseldorf .
Weber, mientras tanto nombrado Kirchenmusikdirektor de Mülheim, fue considerado un destacado intérprete, especialmente de la música de órgano francesa, y ganó una excelente reputación como improvisador. Sus numerosas composiciones para órgano están orientadas hacia Paul Hindemith , a quien admiraba mucho, y hacia la nueva escuela francesa, y representan un lenguaje tonal que se emancipa claramente del romanticismo tardío .
Weber fue miembro de la Reichsverband der katholischen Kirchenangestellten e. V. en Essen . Junto con esta asociación, Weber organizó un viaje de estudios a París en 1956, donde brindó a los miembros la oportunidad de conocer a Marcel Dupré y Rolande Falcinelli y conocer el arte del órgano francés. Además, Weber contribuyó al libro de órgano de la Arquidiócesis Católica Romana de Colonia . Sin embargo, sus composiciones para órgano se publicaron solo parcialmente y se conservan en el instituto musicológico de la Universidad de Colonia .