En matemáticas, un anillo henseliano (o anillo de Hensel ) es un anillo local en el que se cumple el lema de Hensel . Fueron presentados por Azumaya (1951) , quien los nombró en honor a Kurt Hensel . Azumaya originalmente permitió que los anillos henselianos no fueran conmutativos, pero la mayoría de los autores ahora los restringen para que sean conmutativos.
Algunas referencias estándar para los anillos de Hensel son ( Nagata 1962 , Capítulo VII) , ( Raynaud 1970 ) y ( Grothendieck 1967 , Capítulo 18).
En este artículo se supondrá que los anillos son conmutativos, aunque también existe una teoría de anillos Henselianos no conmutativos.
Un anillo local R con ideal maximal m se llama henseliano si se cumple el lema de Hensel. Esto significa que si P es un polinomio mónico en R [ x ], entonces cualquier factorización de su imagen P en ( R / m ) [ x ] en un producto de polinomios mónicos coprimos puede elevarse a una factorización en R [ x ].
Los anillos henselianos son los anillos locales de "puntos" con respecto a la topología de Nisnevich , por lo que los espectros de estos anillos no admiten recubrimientos conectados no triviales con respecto a la topología de Nisnevich. Asimismo, los anillos henselianos estrictos son los anillos locales de puntos geométricos en la topología étale .
Para cualquier anillo local A , existe un anillo henseliano universal B generado por A , llamado henselización de A , introducido por Nagata (1953) , de modo que cualquier homomorfismo local de A a un anillo henseliano puede extenderse únicamente a B. La henselización de A es única hasta el isomorfismo único. La henselización de A es un sustituto algebraico de la terminación de A. La henselización de A tiene el mismo campo de terminación y residuo que A y es un módulo plano sobre A . si unes noetheriano, reducido, normal, regular o excelente , entonces también lo es su henselización. Por ejemplo, la henselización del anillo de polinomios k [ x , y ,...] localizado en el punto (0,0,...) es el anillo de la serie algebraica formal de potencias (la serie formal de potencias que satisface una ecuación algebraica ). Esto se puede considerar como la parte "algebraica" de la terminación.