En álgebra conmutativa , un anillo cuasi excelente es un anillo conmutativo noetheriano que se comporta bien con respecto a la operación de terminación, y se denomina anillo excelente si también es universalmente catenario . Los anillos excelentes son una respuesta al problema de encontrar una clase natural de anillos de "buen comportamiento" que contengan la mayoría de los anillos que ocurren en la teoría de números y la geometría algebraica . En un momento parecía que la clase de anillos noetherianos podría ser una respuesta a este problema, pero Masayoshi Nagatay otros encontraron varios contraejemplos extraños que muestran que, en general, los anillos noetherianos no necesitan comportarse bien: por ejemplo, un anillo local noetheriano normal no necesita ser analíticamente normal .
La clase de anillos excelentes fue definida por Alexander Grothendieck (1965) como un candidato para esa clase de anillos de buen comportamiento. Se conjetura que los anillos cuasi-excelentes son los anillos base para los cuales se puede resolver el problema de la resolución de singularidades ; Heisuke Hironaka ( 1964 ) mostró esto en la característica 0, pero el caso de característica positiva es (a partir de 2016) todavía un gran problema abierto. Esencialmente, todos los anillos noetherianos que ocurren naturalmente en geometría algebraica o teoría de números son excelentes; de hecho, es bastante difícil construir ejemplos de anillos noetherianos que no sean excelentes.
Definiciones
La definición de anillos excelentes es bastante complicada, por lo que recordamos las definiciones de las condiciones técnicas que cumple. Aunque parezca una larga lista de condiciones, la mayoría de los anillos en la práctica son excelentes, como campos , anillos polinomiales , anillos noetherianos completos , dominios de Dedekind sobre la característica 0 (como), y anillos de cociente y localización de estos anillos.
Definiciones recordadas
- Un anillo que contiene un campo se llama geométricamente regular sobre si por alguna extensión finita de el anillo es regular .
- Un homomorfismo de anillos de se llama regular si es plano y para cada la fibra es geométricamente regular sobre el campo de residuos de .
- Un anillo se llama anillo G [1] (o anillo de Grothendieck ) si es noetheriano y sus fibras formales son geométricamente regulares; esto significa que para cualquier, el mapa del anillo local hasta su finalización es regular en el sentido anterior.
Finalmente, un anillo es J-2 [2] si cualquier tipo finito-álgebra es J-1 , es decir, el subesquema regular Esta abierto.
Definición de (cuasi) excelencia
Un anillo se llama cuasi-excelente si es un anillo G y un anillo J-2. Se llama excelente [3] pág. 214 si es cuasi-excelente y universalmente catenaria . En la práctica, casi todos los anillos noetherianos son universalmente catenarios, por lo que hay poca diferencia entre anillos excelentes y cuasi-excelentes.
Un esquema se llama excelente o cuasi-excelente si tiene una cobertura de subesquemas afines abiertos con la misma propiedad, lo que implica que todo subesquema afín abierto tiene esta propiedad.
Propiedades
Porque un excelente anillo es un anillo G, [1] es noetheriano por definición. Debido a que es universalmente catenaria, cada cadena máxima de ideales primarios tiene la misma longitud. Esto es útil para estudiar la teoría de la dimensión de tales anillos porque su dimensión puede estar limitada por una cadena máxima fija. En la práctica, esto significa que los anillos noetherianos de dimensión infinita [4] que tienen una definición inductiva de cadenas máximas de ideales primos, dando un anillo de dimensión infinita, no se pueden construir.
Esquemas
Dado un excelente esquema y un morfismo de tipo localmente finito , luego es excelente [3] pág . 217 .
Cuasi excelencia
Cualquier anillo cuasi excelente es un anillo Nagata .
Cualquier anillo local reducido cuasi-excelente se reduce analíticamente .
Cualquier anillo local normal cuasi-excelente es analíticamente normal .
Ejemplos de
Excelentes anillos
La mayoría de los anillos conmutativos de origen natural en teoría de números o geometría algebraica son excelentes. En particular:
- Todos los anillos locales noetherianos completos, por ejemplo, todos los campos y el anillo Z p de enteros p -ádicos, son excelentes.
- Todos los dominios de Dedekind de característica 0 son excelentes. En particular, el anillo Z de números enteros es excelente. Los dominios de Dedekind sobre campos de características superiores a 0 no necesitan ser excelentes.
- Los anillos de series de potencias convergentes en un número finito de variables sobre R o C son excelentes.
- Cualquier localización de un anillo excelente es excelente.
- Cualquier álgebra generada de forma finita sobre un anillo excelente es excelente. Esto incluye todas las álgebras polinómicas. con excelente. Esto significa que la mayoría de los anillos considerados en geometría algebraica son excelentes.
Un anillo J-2 que no es un anillo G
Aquí hay un ejemplo de un anillo de valoración discreto A de dimensión 1 y característica p > 0 que es J-2 pero no un anillo G y, por lo tanto, no es cuasi-excelente. Si k es cualquier campo de característica p con [ k : k p ] = ∞ y A es el anillo de la serie de potencia Σ a i x i tal que [ k p ( a 0 , a 1 , ...): k p ] es finito, entonces las fibras formales de A no son todas geométricamente regulares, por lo que A no es un anillo G. Es un anillo J-2 ya que todos los anillos locales noetherianos de dimensión como máximo 1 son anillos J-2 . También es universalmente catenaria, ya que es un dominio de Dedekind. Aquí k p denota la imagen de k bajo el morfismo de Frobenius a → a p .
Un anillo G que no es un anillo J-2
Aquí hay un ejemplo de un anillo que es un anillo G pero no un anillo J-2 y, por lo tanto, no es casi excelente. Si R es el subanillo del anillo polinomial k [ x 1 , x 2 , ...] en un número infinito de generadores generados por los cuadrados y cubos de todos los generadores, y S se obtiene de R al unir inversos a todos los elementos que no están en ningún de los ideales generados por algunos x n , entonces S es un dominio noetheriano unidimensional que no es un anillo J-1 ya que S tiene una singularidad de cúspide en cada punto cerrado, por lo que el conjunto de puntos singulares no es cerrado, aunque es un anillo G. Este anillo también es universalmente catenario, ya que su localización en cada ideal primo es un cociente de un anillo regular.
Un anillo cuasi excelente que no es excelente
El ejemplo de Nagata de un anillo local noetheriano bidimensional que es catenario pero no universalmente catenario es un anillo G, y también es un anillo J-2, ya que cualquier anillo G local es un anillo J-2 ( Matsumura 1980 , p.88 , 260) . Por lo tanto, es un anillo local de catenaria cuasi excelente que no es excelente.
Resolución de singularidades
Los anillos cuasi-excelentes están estrechamente relacionados con el problema de la resolución de singularidades , y esta parece haber sido la motivación de Grothendieck [3] pg 218 para definirlos. Grothendieck (1965) observó que si es posible resolver singularidades de todos los anillos noetherianos locales integrales completos, entonces es posible resolver las singularidades de todos los anillos cuasi-excelentes reducidos. Hironaka (1964) demostró esto para todos los anillos locales noetherianos integrales completos sobre un campo de característica 0, lo que implica su teorema de que todas las singularidades de esquemas excelentes sobre un campo de característica 0 pueden resolverse. Por el contrario, si es posible resolver todas las singularidades de los espectros de todas las álgebras finitas integrales sobre un anillo noetheriano R, entonces el anillo R es casi excelente.
Ver también
Referencias
- ^ a b "Sección 15.49 (07GG): G-rings — The Stacks project" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
- ^ "Sección 15.46 (07P6): el lugar singular: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
- ^ a b c Grothendieck, Alexander (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 : 5-231.
- ^ "Sección 108.14 (02JC): Un anillo noetheriano de dimensión infinita: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 24 de julio de 2020 .
- Alexandre Grothendieck , Jean Dieudonné , Eléments de géométrie algébrique IV Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS 24 (1965), sección 7
- VI Danilov (2001) [1994], "Excelente anillo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Heisuke Hironaka , Resolución de singularidades de una variedad algebraica sobre un campo de característica cero. Yo , II . Annals of Mathematics (2) 79 (1964), 109-203; ibídem. (2) 79 1964 205-326.
- Hideyuki Matsumura, álgebra conmutativaISBN 0-8053-7026-9 , capítulo 13.