En matemáticas, un anillo de Henselian (o anillo de Hensel ) es un anillo local en el que se mantiene el lema de Hensel . Fueron presentados por Azumaya (1951) , quien los nombró en honor a Kurt Hensel . Azumaya originalmente permitía que los anillos henselianos no fueran conmutativos, pero la mayoría de los autores ahora los restringen para que sean conmutativos.
Algunas referencias estándar para los anillos de Hensel son ( Nagata 1962 , Capítulo VII) , ( Raynaud 1970 ) y ( Grothendieck 1967 , Capítulo 18).
En este artículo se asumirá que los anillos son conmutativos, aunque también existe una teoría de los anillos Henselianos no conmutativos.
Un anillo local R con ideal máximo m se llama henseliano si se cumple el lema de Hensel. Esto significa que si P es un polinomio mónico en R [ x ], entonces cualquier factorización de su imagen P en ( R / m ) [ x ] en un producto de polinomios mónicos coprimos se puede elevar a una factorización en R [ x ].
Los anillos de Henselian son los anillos locales de "puntos" con respecto a la topología de Nisnevich , por lo que los espectros de estos anillos no admiten cubiertas conectadas no triviales con respecto a la topología de Nisnevich. Asimismo, los anillos henselianos estrictos son los anillos locales de puntos geométricos en la topología étale .
Para cualquier anillo local A hay un anillo universal de Henselian B generada por A , llamado el Henselization de A , introducido por Nagata (1953) , de manera que cualquier homomorfismo local desde A a un anillo Henselian se puede extender de forma única a B . La henselización de A es única hasta un isomorfismo único. El Henselization de A es un sustituto algebraica para la realización de una . El Henselization de A tiene la misma terminación y campo residuo como A y es un módulo de plano sobre A . Si Aes noetheriano, reducido, normal, regular o excelente, entonces también lo es su henselización. Por ejemplo, la Henselización del anillo de polinomios k [ x , y , ...] localizado en el punto (0,0, ...) es el anillo de series de potencias formales algebraicas (la serie de potencias formales que satisface una ecuación algebraica ). Esto se puede considerar como la parte "algebraica" de la terminación.