En matemáticas y ciencias computacionales , el método de Heun puede referirse al método de Euler mejorado [1] o modificado (es decir, la regla trapezoidal explícita [2] ), o un método similar de Runge-Kutta de dos etapas . Lleva el nombre de Karl Heun y es un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con un valor inicial dado . Ambas variantes pueden verse como extensiones del método de Euler en métodos de Runge-Kutta de segundo orden de dos etapas.
El procedimiento para calcular la solución numérica al problema del valor inicial:
mediante el método de Heun, es calcular primero el valor intermedio y luego la aproximación final en el siguiente punto de integración.
dónde es el tamaño del paso y .
Descripción
El método de Euler se utiliza como base para el método de Heun. El método de Euler usa la línea tangente a la función al comienzo del intervalo como una estimación de la pendiente de la función sobre el intervalo, asumiendo que si el tamaño del paso es pequeño, el error será pequeño. Sin embargo, incluso cuando se utilizan tamaños de paso extremadamente pequeños, en un gran número de pasos el error comienza a acumularse y la estimación diverge del valor funcional real.
Donde la curva solución es cóncava hacia arriba, su línea tangente subestimará la coordenada vertical del siguiente punto y viceversa para una solución cóncava hacia abajo. La línea de predicción ideal llegaría a la curva en su siguiente punto predicho. En realidad, no hay forma de saber si la solución es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y, por lo tanto, si el siguiente punto predicho sobrestimará o subestimará su valor vertical. Tampoco se puede garantizar que la concavidad de la curva permanezca constante y la predicción puede sobreestimar y subestimar en diferentes puntos del dominio de la solución. El método de Heun aborda este problema considerando el intervalo abarcado por el segmento de recta tangente como un todo. Tomando un ejemplo cóncavo, la línea de predicción de la tangente izquierda subestima la pendiente de la curva para todo el ancho del intervalo desde el punto actual hasta el siguiente punto predicho. Si se considera la línea tangente en el punto final derecho (que se puede estimar usando el método de Euler), tiene el problema opuesto [3] Los puntos a lo largo de la línea tangente del punto final izquierdo tienen coordenadas verticales que subestiman todos aquellos que se encuentran en la curva solución, incluido el punto final derecho del intervalo considerado. La solución es hacer que la pendiente sea mayor en cierta medida. El método de Heun considera las líneas tangentes a la curva solución en ambos extremos del intervalo, una que sobreestima y otra que subestima las coordenadas verticales ideales. Se debe construir una línea de predicción basándose únicamente en la pendiente de la tangente del punto final derecho, aproximada mediante el método de Euler. Si esta pendiente pasa por el punto final izquierdo del intervalo, el resultado es evidentemente demasiado empinado para ser utilizado como una línea de predicción ideal y sobreestima el punto ideal. Por tanto, el punto ideal se encuentra aproximadamente a medio camino entre la sobreestimación errónea y la subestimación, la media de las dos pendientes.
El método de Euler se utiliza para estimar aproximadamente las coordenadas del siguiente punto en la solución y, con este conocimiento, la estimación original se vuelve a predecir o corregir . [4] Suponiendo que la cantidad en el lado derecho de la ecuación se puede pensar como la pendiente de la solución buscada en cualquier punto , esto se puede combinar con la estimación de Euler del siguiente punto para obtener la pendiente de la recta tangente en el punto final derecho. A continuación, se utiliza el promedio de ambas pendientes para encontrar las coordenadas corregidas del intervalo del extremo derecho.
Derivación
Usando el principio de que la pendiente de una línea es igual a la subida / carrera, las coordenadas al final del intervalo se pueden encontrar usando la siguiente fórmula:
- ,
La precisión del método de Euler mejora solo linealmente con la disminución del tamaño del paso, mientras que el método de Heun mejora la precisión de forma cuadrática. [5] El esquema se puede comparar con el método trapezoidal implícito , pero con reemplazado por para hacerlo explícito. es el resultado de un paso del método de Euler en el mismo problema de valor inicial. Entonces, el método de Heun es un método predictor-corrector con el método de Euler hacia adelante como predictor y el método trapezoidal como corrector.
Método de Runge-Kutta
El método de Euler mejorado es un método de Runge-Kutta de dos etapas y se puede escribir usando el cuadro de Butcher (después de John C. Butcher ):
0 | |||
1 | 1 | ||
1/2 | 1/2 |
El otro método denominado método de Heun (también conocido como método de Ralston) tiene la tabla Butcher: [6]
0 | |||
2/3 | 2/3 | ||
1/4 | 3/4 |
Este método minimiza el error de truncamiento.
Referencias
- ^ Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
- ^ Ascher, Uri M .; Petzold, Linda R. (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones algebraicas diferenciales , Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas , ISBN 978-0-89871-412-8.
- ^ "Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales" . Colegio San Joaquín Delta. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2009.
- ^ Chen, Wenfang .; Kee, Daniel D. (2003), Matemáticas avanzadas para ingeniería y ciencia , MA, EE. UU .: World Scientific, ISBN 981-238-292-5.
- ^ "El método Euler-Heun" (PDF) . LiveToad.org. Archivado desde el original (PDF) el 14 de octubre de 2018.
- ^ Líder, Jeffery J. (2004), Análisis numérico y computación científica , Boston: Addison-Wesley , ISBN 0-201-73499-0.