Método predictor-corrector

En el análisis numérico , los métodos de predicción-corrección pertenecen a una clase de algoritmos diseñados para integrar ecuaciones diferenciales ordinarias, para encontrar una función desconocida que satisfaga una ecuación diferencial dada. Todos estos algoritmos proceden en dos pasos:

El paso inicial de "predicción" comienza con una función ajustada a los valores de función y los valores de derivada en un conjunto de puntos anterior para extrapolar ("anticipar") el valor de esta función en un nuevo punto posterior.
El siguiente paso "corrector" refina la aproximación inicial utilizando el valor predicho de la función y otro método para interpolar el valor de esa función desconocida en el mismo punto posterior.

Métodos predictor-corrector para resolver EDO

Al considerar la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) , un método predictor-corrector generalmente usa un método explícito para el paso del predictor y un método implícito para el paso del corrector.

Ejemplo: método de Euler con la regla trapezoidal

Se puede construir un método predictor-corrector simple (conocido como método de Heun ) a partir del método de Euler (un método explícito) y la regla trapezoidal (un método implícito).

Considere la ecuación diferencial

{\ Displaystyle y '= f (t, y), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0},}

y denotar el tamaño del paso por . ${\ Displaystyle h}$

Primero, el paso del predictor: a partir del valor actual , calcule un valor de estimación inicial mediante el método de Euler, ${\ Displaystyle y_ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {y}} _ {i + 1}}$

{\ Displaystyle {\ tilde {y}} _ {i + 1} = y_ {i} + hf (t_ {i}, y_ {i}).}

A continuación, el paso del corrector: mejorar la conjetura inicial utilizando la regla trapezoidal,

{\ Displaystyle y_ {i + 1} = y_ {i} + {\ tfrac {1} {2}} h {\ bigl (} f (t_ {i}, y_ {i}) + f (t_ {i + 1}, {\ tilde {y}} _ {i + 1}) {\ bigr)}.}

Ese valor se utiliza como paso siguiente.

Modo PEC y modo PECE

Existen diferentes variantes de un método predictor-corrector, dependiendo de la frecuencia con la que se aplica el método corrector. El modo Predecir-Evaluar-Corregir-Evaluar (PECE) se refiere a la variante del ejemplo anterior:

{\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}

También es posible evaluar la función f solo una vez por paso utilizando el método en el modo Predecir-Evaluar-Corregir (PEC):

{\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},{\tilde {y}}_{i}),\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},{\tilde {y}}_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}

Además, el paso del corrector puede repetirse con la esperanza de que esto logre una aproximación aún mejor a la verdadera solución. Si el método corrector se ejecuta dos veces, esto produce el modo PECECE:

{\begin{aligned}{\tilde {y}}_{i+1}&=y_{i}+hf(t_{i},y_{i}),\\{\hat {y}}_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1}){\bigr )},\\y_{i+1}&=y_{i}+{\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\hat {y}}_{i+1}){\bigr )}.\end{aligned}}

El modo PECEC tiene una evaluación de función menos que el modo PECECE.

De manera más general, si el corrector se ejecuta k veces, el método está en modo P (EC) ^k o P (EC) ^k E. Si el método corrector se repite hasta que converge, esto podría llamarse PE (CE) ^∞ . ^[1]

Ver también

Notas

^ Carnicero 2003 , p. 104

Referencias

Butcher, John C. (2003), Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3.
Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 17.6. Métodos multipaso, multivalor y predictor-corrector" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Métodos predictores-correctores" . MathWorld .
Métodos predictor-corrector para ecuaciones diferenciales

[1] Carnicero 2003 , p. 104

[1]