La Hewitt-salvaje cero, una misma ley es un teorema en la teoría de la probabilidad , similar a la ley cero-uno de Kolmogorov y el Borel-Cantelli lema , que especifica que un cierto tipo de evento, ya sea casi seguro que sucedan o casi seguramente no sucederá. A veces se la conoce como la ley de Savage-Hewitt para eventos simétricos . Lleva el nombre de Edwin Hewitt y Leonard Jimmie Savage . [1]
Declaración de la ley cero uno de Savage-Hewitt
Dejar ser una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman valores en un conjunto. La ley cero-uno de Hewitt-Savage dice que cualquier evento cuya ocurrencia o no ocurrencia está determinada por los valores de estas variables aleatorias y cuya ocurrencia o no ocurrencia no cambia por permutaciones finitas de los índices, tiene probabilidad de 0 o 1 ( una permutación "finita" es aquella que deja todos los índices fijos, excepto un número finito).
De manera algo más abstracta, defina el álgebra sigma intercambiable o el álgebra sigma de eventos simétricos ser el conjunto de eventos (dependiendo de la secuencia de variables ) que son invariantes bajo permutaciones finitas de los índices en la secuencia. Luego.
Dado que cualquier permutación finita puede escribirse como un producto de transposiciones , si deseamos comprobar si un evento es simétrico (se encuentra en ), basta con comprobar si su ocurrencia no se modifica por una transposición arbitraria , .
Ejemplos de
Ejemplo 1
Deja que la secuencia tomar valores en . Luego, el evento de que la serie converge (a un valor finito) es un evento simétrico en , ya que su ocurrencia no cambia bajo transposiciones (para un reordenamiento finito, la convergencia o divergencia de la serie —y, de hecho, el valor numérico de la suma misma— es independiente del orden en que sumamos los términos). Por tanto, la serie converge casi con certeza o diverge casi con certeza. Si asumimos además que el valor común esperado (que esencialmente significa que debido a la no negatividad de las variables aleatorias), podemos concluir que
es decir, la serie diverge casi con seguridad. Ésta es una aplicación particularmente simple de la ley cero uno de Hewitt-Savage. En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero uno de Hewitt-Savage para mostrar que algún evento tiene probabilidad 0 o 1, pero sorprendentemente es difícil determinar cuál de estos dos valores extremos es el correcto.
Ejemplo 2
Continuando con el ejemplo anterior, defina
que es la posición en el paso N de un paseo aleatorio con los incrementos de iid X n . El evento { S N = 0 infinitamente a menudo} es invariante bajo permutaciones finitas. Por lo tanto, la ley cero-uno es aplicable y uno infiere que la probabilidad de un paseo aleatorio con incrementos de iid reales que visiten el origen infinitamente a menudo es uno o cero. Visitar el origen infinitamente a menudo es un evento de cola con respecto a la secuencia ( S N ), pero S N no son independientes y, por lo tanto, la ley cero-uno de Kolmogorov no es directamente aplicable aquí. [2]
Referencias
- ^ Hewitt, E .; Salvaje, LJ (1955). "Medidas simétricas sobre productos cartesianos" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 80 : 470–501. doi : 10.1090 / s0002-9947-1955-0076206-8 .
- ^ Este ejemplo es de Shiryaev, A. (1996). Teoría de la probabilidad (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 381–82.