Flexágono

En geometría , los flexágonos son modelos planos , generalmente construidos doblando tiras de papel, que se pueden flexionar o doblar de ciertas maneras para revelar caras además de las dos que estaban originalmente en la parte posterior y frontal.

Los flexágonos suelen ser cuadrados o rectangulares ( tetraflexágonos ) o hexagonales ( hexaflexágonos ). Se puede agregar un prefijo al nombre para indicar la cantidad de caras que puede mostrar el modelo, incluidas las dos caras (parte posterior y parte frontal) que son visibles antes de la flexión. Por ejemplo, un hexaflexágono con un total de seis caras se llama hexahexaflexágono .

En la teoría del hexaflexágono (es decir, en relación con los flexágonos de seis lados), los flexágonos suelen definirse en términos de pats . ^{[1] [2]}

Dos flexágonos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una serie de pellizcos y rotaciones. La equivalencia de Flexagon es una relación de equivalencia . ^[1]

El descubrimiento del primer flexágono, un trihexaflexágono, se atribuye al matemático británico Arthur H. Stone , mientras estudiaba en la Universidad de Princeton en los Estados Unidos en 1939. Su nuevo artículo estadounidense no cabía en su carpeta inglesa, por lo que cortó el extremos del papel y comenzó a doblarlos en diferentes formas. ^[3] Uno de estos formó un trihexaflexágono. Los colegas de Stone, Bryant Tuckerman , Richard Feynman y John Tukey , se interesaron en la idea y formaron el Comité Flexagon de Princeton. Tuckerman elaboró ​​un método topológico , llamado poligonal de Tuckerman, para revelar todas las caras de un flexágono. ^[4]Las poligonales de Tuckerman se muestran como un diagrama.

Los flexágonos fueron presentados al público en general por Martin Gardner en la edición de diciembre de 1956 de Scientific American en un artículo tan bien recibido que lanzó la columna "Juegos matemáticos" de Gardner que luego se publicó en esa revista durante los siguientes veinticinco años. ^{[3] [5]} En 1974, el mago Doug Henning incluyó un hexaflexágono de construcción propia con la grabación original del elenco de su espectáculo de Broadway The Magic Show .

Un hexaflexágono, mostrado con la misma cara en dos configuraciones

Se puede doblar un tritetraflexágono a partir de una tira de papel como se muestra.

Esta figura tiene dos caras visibles, construidas con cuadrados marcados con A s y B s. La cara de C s está oculta dentro del flexágono.

Travesía tritetraflexágono

Travesía de hexatetraflexágono

Esta plantilla de trihexaflexágono muestra 3 colores de 9 triángulos, impresos en un lado y doblados para colorear en ambos lados. Los dos triángulos amarillos en los extremos terminarán pegados con cinta adhesiva. Los arcos rojo y azul se ven como círculos completos en el interior de un lado o del otro cuando se doblan.

Las figuras 1 a 6 muestran la construcción de un hexaflexágono hecho con triángulos de cartón sobre un respaldo hecho con una tira de tela. Ha sido decorado en seis colores; naranja, azul y rojo en la figura 1 corresponden a 1, 2 y 3 en el diagrama de arriba. El lado opuesto, figura 2, está decorado con morado, gris y amarillo. Tenga en cuenta los diferentes patrones utilizados para los colores en los dos lados. La figura 3 muestra el primer pliegue, y la figura 4 el resultado de los primeros nueve pliegues, que forman una espiral. Las figuras 5 y 6 muestran el plegado final de la espiral para formar un hexágono; en 5, dos caras rojas han sido ocultadas por un pliegue de valle, y en 6, dos caras rojas en el lado inferior han sido ocultadas por un pliegue de montaña. Después de la figura 6, el último triángulo suelto se dobla y se une al otro extremo de la tira original para que un lado sea todo azul y el otro todo naranja. Las fotos 7 y 8 muestran el proceso de eversión del hexaflexágono para mostrar los triángulos rojos antes ocultos. Mediante manipulaciones adicionales, se pueden exponer los seis colores.