Geometría y ceros infinitos
Grandi
Guido Grandi (1671-1742) supuestamente proporcionó una descripción simplista de la serie en 1703. Observó que insertar paréntesis en 1 - 1 + 1 - 1 + · · · producía resultados variables:
o
La explicación de Grandi de este fenómeno se hizo bien conocida por sus connotaciones religiosas:
Poniendo paréntesis en la expresión 1 - 1 + 1 - 1 + · · · de diferentes maneras, puedo, si quiero, obtener 0 o 1. Pero entonces la idea de la creación ex nihilo es perfectamente plausible. [1]
De hecho, la serie no era un tema ocioso para Grandi, y no creía que sumara 0 o 1. Más bien, como muchos matemáticos a seguir, pensaba que el verdadero valor de la serie era 1 ⁄ 2 para una variedad. de razones.
El tratamiento matemático de Grandi de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · ocurre en su libro de 1703 Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita . Interpretando ampliamente el trabajo de Grandi, derivó 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = 1 ⁄ 2 a través del razonamiento geométrico relacionado con su investigación de la bruja de Agnesi . Los matemáticos del siglo XVIII inmediatamente tradujeron y resumieron su argumento en términos analíticos: para un círculo generador con diámetro a , la ecuación de la bruja y = a 3 / ( a 2 + x 2 ) tiene la expansión de la serie
- y estableciendo a = x = 1, uno tiene 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = 1 ⁄ 2 . [2]
- Según Morris Kline , Grandi comenzó con la expansión binomial
- y sustituyó x = 1 para obtener 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = 1 ⁄ 2 . Grandi "también argumentó que, dado que la suma era tanto 0 como 1 ⁄ 2 , había demostrado que el mundo podía crearse de la nada". [3]
Grandi ofreció una nueva explicación de que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = 1 ⁄ 2 en 1710, tanto en la segunda edición de la Quadratura circula [4] como en un nuevo trabajo, De Infinitis infinitorum, et infinite parvorum ordinibus disquisitio geometrica . [5] Dos hermanos heredan una gema de valor incalculable de su padre, cuyo testamento les prohíbe venderla, por lo que acuerdan que residirá en los museos del otro en años alternos. Si este acuerdo dura toda la eternidad entre los descendientes del hermano, entonces las dos familias tendrán la mitad de la posesión de la gema, a pesar de que cambia de manos infinitamente a menudo. Este argumento fue posteriormente criticado por Leibniz. [6]
La parábola de la gema es la primera de dos adiciones a la discusión del corolario que Grandi agregó a la segunda edición. El segundo repite el vínculo entre la serie y la creación del universo por Dios:
Sed inquies: aggregatum ex infinitis differentiis infinitarum ipsi DV æqualium, sive continuè, sive alternè sumptarum, est demum summa ex infinitis nullitatibus, seu 0, quomodo ergo quantitatem notabilem aggreget? En repono, eam Infiniti vim agnoscendam, ut etiam quod per se nullum est multiplicando, in aliquid commutet, sicuti finitam magnitudiné dividendo, in nullam degenerare cogit: unde per infinitam Dei Creatoris potentiam omnia ex nihlo facta, omniaque in nihilum adeò redi posse absurdum esse, quantitatem aliquam, ut ita dicam, creari per infinitam vel multiplicationem, vel addem ipsius nihili, aut quodvis quantum infinita divisione, aut subductione in nihilum redigit. [7]
Marchetti
Después de que Grandi publicara la segunda edición de la Quadratura , su compatriota Alessandro Marchetti se convirtió en uno de sus primeros críticos. Un historiador afirma que Marchetti estaba motivado más por los celos que por cualquier otra razón. [8] Marchetti encontró absurda la afirmación de que un número infinito de ceros podría sumar una cantidad finita, e infirió del tratamiento de Grandi el peligro planteado por el razonamiento teológico. Los dos matemáticos comenzaron a atacarse en una serie de cartas abiertas; su debate terminó solo con la muerte de Marchetti en 1714.
Leibniz
Con la ayuda y el aliento de Antonio Magliabechi , Grandi envió una copia de la Quadratura de 1703 a Leibniz, junto con una carta expresando cumplidos y admiración por la obra del maestro. Leibniz recibió y leyó esta primera edición en 1705, y la llamó un "intento" poco original y menos avanzado de su cálculo. [9] El tratamiento de Grandi de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no llamaría la atención de Leibniz hasta 1711, cerca del final de su vida, cuando Christian Wolff le envió una carta en nombre de Marchetti describiendo el problema y pidiendo la opinión de Leibniz . [10]
Fondo
Ya en 1674, en una escritura menor, menos conocida, De Triangulo Harmonico sobre el triángulo armónico , Leibniz mencionó 1 - 1 + 1 - 1 + · · · muy brevemente en un ejemplo:
Presumiblemente llegó a esta serie por sustitución repetida:
Y así.
La serie 1 - 1 + 1 - 1 + · · · también aparece indirectamente en una discusión con Tschirnhaus en 1676. [12]
Leibniz ya había considerado la serie alterna divergente 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - · · · ya en 1673. En ese caso, argumentó que al restar ya sea a la izquierda o a la derecha, uno podría producir tanto positivo como negativo infinito y, por lo tanto, ambas respuestas son incorrectas y el conjunto debe ser finito. Dos años después, Leibniz formuló la primera prueba de convergencia en la historia de las matemáticas, la prueba de series alternas , en la que aplicó implícitamente la definición moderna de convergencia. [13]
Soluciones
En la década de 1710, Leibniz describió la serie de Grandi en su correspondencia con varios otros matemáticos. [14] La carta con el impacto más duradero fue su primera respuesta a Wolff, que publicó en el Acta Eruditorum . En esta carta, Leibniz abordó el problema desde varios ángulos.
En general, Leibniz creía que los algoritmos del cálculo eran una forma de "razonamiento ciego" que, en última instancia, tenía que basarse en interpretaciones geométricas. Por lo tanto, estuvo de acuerdo con Grandi en que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = 1 ⁄ 2 , alegando que la relación estaba bien fundada porque existía una demostración geométrica. [15]
Por otro lado, Leibniz criticó duramente el ejemplo de Grandi de la gema compartida, afirmando que la serie 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no tiene relación con la historia. Señaló que para cualquier número finito, par de años, los hermanos tienen la misma posesión, sin embargo, la suma de los términos correspondientes de la serie es cero. [6]
Leibniz pensó que el argumento de 1 / (1 + x ) era válido; lo tomó como un ejemplo de su ley de continuidad . Dado que la relación 1 - x + x 2 - x 3 + · · · = 1 / (1 + x ) es válida para todo x menor que 1, también debería ser válida para x igual a 1. Aún así, Leibniz pensó que uno debería poder encontrar la suma de la serie 1 - 1 + 1 - 1 + · · · directamente, sin necesidad de volver a referirse a la expresión 1 / (1 + x ) de la que proviene. Este enfoque puede parecer obvio para los estándares modernos, pero es un paso significativo desde el punto de vista de la historia de la suma de series divergentes. [16] En el siglo XVIII, el estudio de series estaba dominado por series de potencias, y se pensaba que la suma de una serie numérica expresándola como f (1) de la serie de potencias de alguna función era la estrategia más natural. [17]
Leibniz comienza observando que tomando un número par de términos de la serie, el último término es −1 y la suma es 0:
- 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0.
Tomando un número impar de términos, el último término es +1 y la suma es 1:
- 1 = 1 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1.
Ahora, la serie infinita 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no tiene un número par ni impar de términos, por lo que no produce ni 0 ni 1; al llevar la serie al infinito, se convierte en algo entre esas dos opciones. No hay más razón por la que la serie deba tomar un valor que el otro, por lo que la teoría de la "probabilidad" y la "ley de la justicia" dictan que uno debe tomar la media aritmética de 0 y 1, que es (0 + 1) / 2 = 1/2. [18]
Eli Maor dice de esta solución: "Un razonamiento tan descarado y descuidado nos parece realmente increíble hoy en día ..." [19] Kline retrata a Leibniz como más consciente de sí mismo: "Leibniz admitió que su argumento era más metafísico que matemático, pero dijo que había es más verdad metafísica en matemáticas de lo que generalmente se reconoce ". [20]
Charles Moore reflexiona que Leibniz difícilmente habría tenido tanta confianza en su estrategia metafísica si no hubiera dado el mismo resultado (es decir, 1 ⁄ 2 ) que otros enfoques. [21] Matemáticamente, esto no fue un accidente: el tratamiento de Leibniz estaría parcialmente justificado cuando la compatibilidad de las técnicas de promediado y las series de potencias se probara finalmente en 1880. [22]
Reacciones
Cuando planteó por primera vez la cuestión de la serie de Grandi a Leibniz, Wolff se inclinó hacia el escepticismo junto con Marchetti. Al leer la respuesta de Leibniz a mediados de 1712, [23] Wolff estaba tan satisfecho con la solución que buscó extender el método de la media aritmética a series más divergentes como 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - · · · . La intuición de Leibniz le impidió forzar su solución hasta aquí, y respondió que la idea de Wolff era interesante pero inválida por varias razones. Por un lado, los términos de una serie sumable deberían disminuir a cero; incluso 1 - 1 + 1 - 1 + · · · podría expresarse como un límite de dicha serie. [24]
Leibniz describió la serie de Grandi junto con el problema general de convergencia y divergencia en cartas a Nicolaus I Bernoulli en 1712 y principios de 1713. J. Dutka sugiere que esta correspondencia, junto con el interés de Nicolaus I Bernoulli en la probabilidad, lo motivó a formular el libro de San Petersburgo. paradoja , otra situación de serie divergente, en septiembre de 1713. [25]
Según Pierre-Simon Laplace en su Essai Philosophique sur les Probabilités , la serie de Grandi estaba relacionada con Leibniz viendo "una imagen de la Creación en su aritmética binaria", y así Leibniz escribió una carta al misionero jesuita Claudio Filippo Grimaldi , matemático de la corte en China , con la esperanza de que el interés de Claudio Filippo Grimaldi por la ciencia y el "emblema de la creación" matemático se combinen para convertir la nación al cristianismo . Laplace comenta: "Registro esta anécdota sólo para mostrar hasta qué punto los prejuicios de la infancia pueden engañar a los hombres más grandes". [26]
Divergencia
Jacob Bernoulli
Jacob Bernoulli (1654-1705) se ocupó de una serie similar en 1696 en la tercera parte de sus Positiones arithmeticae de seriebus infinitis . [27] Al aplicar el método de Nicholas Mercator para la división larga de polinomios a la razón k / ( m + n ) , notó que uno siempre tenía un resto. [28] Si m > n entonces este resto disminuye y "finalmente es menor que cualquier cantidad dada", y uno tiene
Si m = n , entonces esta ecuación se convierte en
Bernoulli llamó a esta ecuación una "paradoja no poco elegante". [27] [29]
Varignon
Pierre Varignon (1654-1722) trató la serie de Grandi en su informe Précautions à prendre dans l'usage des Suites ou Series infinies résultantes… . El primero de sus propósitos para este artículo fue señalar la divergencia de la serie de Grandi y ampliar el tratamiento de 1696 de Jacob Bernoulli.
(Matemáticas de Varignon ...)
La versión final del artículo de Varignon está fechada el 16 de febrero de 1715 y apareció en un volumen de los Mémories de la Academia Francesa de Ciencias que no se publicó hasta 1718. Para un tratamiento relativamente tardío de la serie de Grandi, es sorprendente que El informe de Varignon ni siquiera menciona el trabajo anterior de Leibniz. [30] Pero la mayoría de las Precauciones se escribieron en octubre de 1712, mientras Varignon estaba fuera de París . El libro de 1704 del Abbé Poignard sobre cuadrados mágicos , Traité des Quarrés sublimes , se había convertido en un tema popular en la Academia, y la segunda edición revisada y ampliada pesaba 336 páginas. Para hacer tiempo para leer el Traité , Varignon tuvo que escapar al campo durante casi dos meses, donde escribió sobre el tema de la serie de Grandi en relativo aislamiento. Al regresar a París y registrarse en la Academia, Varignon pronto descubrió que el gran Leibniz había fallado a favor de Grandi. Habiendo sido separado de sus fuentes, Varignon todavía tenía que revisar su artículo mirando hacia arriba e incluyendo la cita a Jacob Bernoulli. En lugar de tener también en cuenta el trabajo de Leibniz, Varignon explica en una posdata a su informe que la cita era la única revisión que había hecho en París, y que si surgían otras investigaciones sobre el tema, sus pensamientos al respecto tendrían que esperar una informe futuro. [31]
(Cartas entre Varignon y Leibniz…)
En la Encyclopédie de 1751 , Jean le Rond d'Alembert se hace eco de la opinión de que el razonamiento de Grandi basado en la división había sido refutado por Varignon en 1715 (en realidad, d'Alembert atribuye el problema a " Guido Ubaldus ", un error que todavía se propaga ocasionalmente hoy.) [32]
Riccati y Bougainville
En una carta de 1715 a Jacopo Riccati , Leibniz mencionó la cuestión de la serie de Grandi y anunció su propia solución en el Acta Eruditorum . [33] Posteriormente, Riccati criticaría el argumento de Grandi en su Saggio intorno al sistema dell'universo de 1754 , diciendo que provoca contradicciones. Sostiene que también se podría escribir n - n + n - n + · · · = n / (1 + 1), pero que esta serie tiene "la misma cantidad de ceros" que la serie de Grandi. Estos ceros carecen de cualquier carácter evanescente de n , ya que Riccati señala que la igualdad 1 - 1 = n - n está garantizada por 1 + n = n + 1. Concluye que el error fundamental está en usar una serie divergente para empezar:
De hecho, no sucede que si paramos esta serie, los siguientes términos se pueden despreciar en comparación con los términos anteriores; esta propiedad se verifica solo para series convergentes ". [34]
Otra publicación de 1754 también criticó la serie de Grandi sobre la base de su colapso a 0. Louis Antoine de Bougainville trata brevemente la serie en su aclamado libro de texto de 1754 Traité du calcul intégral . Explica que una serie es "verdadera" si su suma es igual a la expresión a partir de la cual se expande; de lo contrario, es "falso". Por tanto, la serie de Grandi es falsa porque 1 / (1 + 1) = 1/2 y sin embargo (1 - 1) + (1 - 1) + · · · = 0 . [35]
Euler
Leonhard Euler trata 1 - 1 + 1 - 1 + · · · junto con otras series divergentes en su De seriebus divergentibus , un artículo de 1746 que fue leído a la Academia en 1754 y publicado en 1760. Él identifica la serie como considerada por primera vez por Leibniz, y revisa el argumento de 1713 de Leibniz basado en la serie 1 - a + a 2 - a 3 + a 4 - a 5 + · · · , llamándolo "razonamiento bastante sólido", y también menciona el argumento de la mediana par / impar . Euler escribe que la objeción habitual al uso de 1 / (1 + a ) es que no es igual a 1 - a + a 2 - a 3 + a 4 - a 5 + · · · a menos que a sea menor que 1; de lo contrario, todo lo que se puede decir es que
donde el último término restante no desaparece y no se puede ignorar ya que n se lleva al infinito. Aún escribiendo en tercera persona, Euler menciona una posible refutación a la objeción: esencialmente, dado que una serie infinita no tiene último término, no hay lugar para el resto y debe descuidarse. [36] Después de revisar series más mal divergentes como 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , donde juzga que sus oponentes tienen un apoyo más firme, Euler busca definir el problema:
Sin embargo, por muy sustancial que parezca esta disputa en particular, ninguna de las partes puede ser condenada por ningún error por parte de la otra, siempre que el uso de tales series ocurra en el análisis, y este debería ser un argumento sólido de que ninguna de las partes está en error, pero que todo desacuerdo es únicamente verbal. Pues si en un cálculo llego a esta serie 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 etc. y si en su lugar sustituyo 1/2, nadie me imputará correctamente un error, que sin embargo todos harían si Puse algún otro número en el lugar de esta serie. De ahí que no quede duda de que, de hecho, la serie 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + etc. y la fracción 1/2 son cantidades equivalentes y que siempre está permitido sustituir una por otra sin error. De este modo toda la cuestión es visto reducir a esto, si llamamos a la fracción 1/2 de la suma correcta de 1 - 1 + 1 - 1 + etc ; y es de temer fuertemente que quienes insisten en negar esto y que al mismo tiempo no se atreven a negar la equivalencia se hayan topado con una batalla de palabras. Pero creo que toda esta disputa se puede terminar fácilmente si prestamos atención a lo que sigue ... [37]
Euler también usó diferencias finitas para atacar 1 - 1 + 1 - 1 + · · · . En terminología moderna, tomó la transformada de Euler de la secuencia y encontró que era igual a 1 ⁄ 2 . [38] Todavía en 1864, De Morgan afirma que "esta transformación siempre ha aparecido como una de las presunciones más fuertes a favor de que 1 - 1 + 1 -… sea 1 ⁄ 2 ". [39]
Dilución y nuevos valores
A pesar del tono confiado de sus artículos, Euler expresó dudas sobre series divergentes en su correspondencia con Nicolaus I Bernoulli. Euler afirmó que su intento de definición nunca le había fallado, pero Bernoulli señaló una clara debilidad: no especifica cómo se debe determinar "la" expresión finita que genera una serie infinita dada. Esto no solo es una dificultad práctica, sino que en teoría sería fatal si se generara una serie expandiendo dos expresiones con valores diferentes. El tratamiento de Euler de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · se basa en su firme creencia de que 1 ⁄ 2 es el único valor posible de la serie; ¿y si hubiera otro?
En una carta de 1745 a Christian Goldbach , Euler afirmó que no tenía conocimiento de ningún contraejemplo de ese tipo y, en cualquier caso, Bernoulli no había proporcionado ninguno. Varias décadas más tarde, cuando Jean-Charles Callet finalmente afirmó un contraejemplo, estaba dirigido a 1 - 1 + 1 - 1 + · · · . El trasfondo de la nueva idea comienza con Daniel Bernoulli en 1771. [40]
Daniel Bernoulli
- Bernoulli, Daniel (1771). "De summationibus serierum quarunduam incongrue veris earumque confusione atque usu". Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 16 : 71–90.
Daniel Bernoulli, quien aceptó el argumento probabilístico de que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = 1 ⁄ 2 , notó que insertando ceros en la serie en los lugares correctos, podría alcanzar cualquier valor entre 0 y 1. En particular , el argumento sugirió que
- 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · · = 2 ⁄ 3 . [41]
Callet y Lagrange
En un memorando enviado a Joseph Louis Lagrange hacia finales de siglo, Callet señaló que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · también podría obtenerse de la serie
sustituir x = 1 ahora sugiere un valor de 2 ⁄ 3 , no 1 ⁄ 2 . Lagrange aprobó la presentación de Callet para su publicación en las Mémoires de la Academia de Ciencias de Francia , pero nunca se publicó directamente. En cambio, Lagrange (junto con Charles Bossut ) resumió el trabajo de Callet y respondió a él en las Mémoires de 1799. Defendió a Euler sugiriendo que la serie de Callet en realidad debería escribirse con los términos 0 dejados en:
que se reduce a
- 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + 1 + 0 - 1 + · · ·
en lugar de. [42]
Siglo 19
El siglo XIX se recuerda como el período aproximado de la prohibición mayoritariamente exitosa de Cauchy y Abel sobre el uso de series divergentes, pero la serie de Grandi continuó haciendo apariciones ocasionales. Algunos matemáticos no siguieron el ejemplo de Abel, sobre todo fuera de Francia, y los matemáticos británicos, sobre todo, tardaron "mucho tiempo" en comprender el análisis procedente del continente. [43]
En 1803, Robert Woodhouse propuso que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · sumado a algo llamado
que podría distinguirse de 1 ⁄ 2 . Ivor Grattan-Guinness comenta sobre esta propuesta, "... R. Woodhouse ... escribió con admirable honestidad sobre los problemas que no entendió. ... Por supuesto, no hay nada malo en definir nuevos símbolos como 1 ⁄ 1 + 1 ; pero el La idea es 'formalista' en un sentido poco halagador, y no se relaciona con el problema de la convergencia de series ". [44]
Razonamiento algebraico
En 1830, un matemático identificado sólo como "MRS" escribió en los Annales de Gergonne sobre una técnica para encontrar numéricamente puntos fijos de funciones de una variable. Si uno puede transformar un problema en la forma de una ecuación x = A + f (x) , donde A puede elegirse a voluntad, entonces
debería ser una solución, y truncar esta expresión infinita da como resultado una secuencia de aproximaciones. Por el contrario, dada la serie x = a - a + a - a + · · · , el autor recupera la ecuación
al cual la solución es ( 1 ⁄ 2 ) a .
MRS observa que las aproximaciones en este caso son a , 0, a , 0,…, pero no hay necesidad del "razonamiento sutil" de Leibniz. Además, el argumento para promediar las aproximaciones es problemático en un contexto más amplio. Para las ecuaciones no de la forma x = A + f (x) , las soluciones de la señora se fracciones continuas , radicales continuas , y otras expresiones infinitas. En particular, la expresión a / ( a / ( a / · · ·))) debe ser una solución de la ecuación x = a / x . Aquí, MRS escribe que con base en el razonamiento de Leibniz, uno se siente tentado a concluir que x es el promedio de los truncamientos a , 1, a , 1,…. Este promedio es (1 + a ) / 2 , pero la solución de la ecuación es la raíz cuadrada de a . [45]
Bernard Bolzano criticó la solución algebraica de la serie de MRS. En referencia al paso
Bolzano cargó,
La serie entre paréntesis claramente no tiene el mismo conjunto de números que el indicado originalmente con x , ya que falta el primer término a .
Este comentario ejemplifica las opiniones intuitivamente atractivas pero profundamente problemáticas de Bolzano sobre el infinito. En su defensa, el propio Cantor señaló que Bolzano trabajaba en una época en la que el concepto de cardinalidad de un conjunto estaba ausente. [46]
De Morgan y compañía
Todavía en 1844, Augustus De Morgan comentó que si se pudiera dar una sola instancia en la que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · no fuera igual a 1 ⁄ 2 , estaría dispuesto a rechazar toda la teoría de las series trigonométricas. [47]
No discuto con aquellos que rechazan todo lo que no está dentro de la providencia de la aritmética, sino solo con aquellos que abandonan el uso de series infinitamente divergentes y, sin embargo, parecen emplear series finitamente divergentes con confianza. Tal parece ser la práctica, tanto en el país como en el extranjero. Parecen perfectamente reconciliados con 1 - 1 + 1 - 1 + · · · , pero no pueden admitir 1 + 2 + 4 + · · · = −1 . [48]
Todo el tejido de series periódicas e integrales ... caería instantáneamente si se demostrara que es posible que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · podría ser una cantidad como forma límite de A 0 - A 1 + A 2 - · · · Y otra como forma límite de A 0 - A 1 + A 2 - · · ·. [49]
El mismo volumen contiene artículos de Samuel Earnshaw y JR Young que tratan en parte de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · . GH Hardy descarta ambos como "poco más que una tontería", en contraste con la "notable mezcla de agudeza y confusión" de De Morgan; [48] en cualquier caso, Earnshaw llamó la atención de De Morgan con las siguientes observaciones:
… No es muy inusual arrojar un manto de misterio sobre este tema, introduciendo ceros en la expansión de 1 ⁄ 1 + 1 + 1 . Pero tal dispositivo, por mucho que sirva para satisfacer la vista, no puede satisfacer la cabeza ... [50]
De Morgan respondió en 1864 en el mismo diario:
No puedo aprobar la introducción de cifrados para satisfacer la vista, pero para mí siempre se presentaban ellos mismos. … Aquellos que rechazan evanescentes casuales fuera de una rutina de operación no tienen derecho a acusar a aquellos que no rechazan con presentación. [51]
Frobenius y las matemáticas modernas
El último artículo académico motivado por 1 - 1 + 1 - 1 + · · · podría identificarse como el primer artículo en la historia moderna de las series divergentes. [52] Georg Frobenius publicó un artículo titulado "Ueber die Leibnitzsche Reihe" ( Sobre la serie de Leibniz ) en 1880. Había encontrado la antigua carta de Leibniz a Wolff, citandola junto con un artículo de 1836 de Joseph Ludwig Raabe , quien a su vez se basó en ideas por Leibniz y Daniel Bernoulli. [53]
El breve artículo de Frobenius, de apenas dos páginas, comienza citando el tratamiento de Leibniz de 1 - 1 + 1 - 1 + · · ·. Él infiere que Leibniz en realidad estaba estableciendo una generalización del teorema de Abel . El resultado, ahora conocido como teorema de Frobenius , [54] tiene un enunciado simple en términos modernos: cualquier serie que sea sumable por Cesàro también es sumable por Abel a la misma suma. El historiador Giovanni Ferraro enfatiza que Frobenius en realidad no enunció el teorema en tales términos, y Leibniz no lo dijo en absoluto. Leibniz defendía la asociación de la serie divergente 1 - 1 + 1 - 1 + · · · con el valor 1 ⁄ 2 , mientras que el teorema de Frobenius se expresa en términos de secuencias convergentes y la formulación epsilon-delta del límite de una función . [55]
El teorema de Frobenius pronto fue seguido con más generalizaciones por Otto Hölder y Thomas Joannes Stieltjes en 1882. Una vez más, para un lector moderno, su trabajo sugiere fuertemente nuevas definiciones de la suma de una serie divergente, pero esos autores aún no dieron ese paso. Ernesto Cesàro propuso una definición sistemática por primera vez en 1890. [56] Desde entonces, los matemáticos han explorado muchos métodos de sumabilidad diferentes para series divergentes. La mayoría de estos, especialmente los más simples con paralelos históricos, suman la serie de Grandi a 1 ⁄ 2 . Otros, motivados por el trabajo de Daniel Bernoulli, suman la serie a otro valor, y algunos no lo suman en absoluto.
Notas
- ^ Bagni Appunti cap.4, p.54. La cita original, en italiano: "Mettendo in modo diverso le parentesi nell'espressione 1-1 + 1-1 + ... io posso, volendo, ottenere 0 o 1. Ma allora l'idea della creazione ex nihilo è perfettamente plausibile . " Bagni no identifica la fuente primaria, escribiendo solo que la cita es de 1703 y que se cita en I, p.185 de Silov, GE (1978), Analisi matematica , Mir, Mosca. 1703 es también el año de publicación de la Quadratura circula , pero el análisis de Panza del tratamiento de 1 - 1 + 1 - 1 + · · · en ese libro no menciona esta idea.
- ↑ Según Giovanni Ferraro (2002 p.193), citando la tesis doctoral de Marco Panza que incluye un análisis detallado de la escritura de Grandi.
- ^ Kline 1983 p.307
- ↑ Panza (p.298) coloca el ejemplo en la p.30 de Grandi 1710, Quadratura circula… editio altera
- ^ Reiff págs. 65-66
- ↑ a b Leibniz (Gerhardt) págs. 385-386, Markushevich pág. 46
- ↑ Panza (p.298) coloca este pasaje en la p.29 de Grandi 1710, Quadratura circula… editio altera
- ^ Montucla págs. 8-9
- ^ Mazzone y Roero pp.246-247, que citan: Grandi to Magliabechi, Pisa 17.7.1703 BU Pisa MS 99, f. 219; Magliabechi a Grandi, Florencia 31.7.1703, BU Pisa MS 93, f. 110; Grandi a Leibniz, Pisa 28.6.1703, GM 4, p. 209; Leibniz a Magliabechi, Hannover 12.8.1704; Leibniz a Magliabechi, Hannover 2.7.1705, Paoli 1899, pág. XC; Leibniz a Grandi, Hannover 11.7.1705, GM 4, págs. 210-212; Leibniz a Hermann, Hannover 21.5.1706, GM 4, p. 297
- ↑ Hitt p.141; Wolff a Leibniz, 16 de abril de 1711, en Gerhardt págs. 134-135, LXIII
- ^ Leibniz p. 369
- ↑ Leibniz p.817
- ^ Leibniz págs. 205-207; Knobloch págs.124-127
- ↑ Por ejemplo, su solución definitiva se repite en una carta de 1716 a Pierre Dangicourt ; ver Hitt p.143
- ^ Ferraro 2000 p.545
- ^ Como señaló Weidlich (p.1)
- ^ Ferraro y Panza p.32
- ^ Leibniz (Gerhardt) págs. 386-387; Hitt (p.143) traduce el latín al francés.
- ^ Maor, págs. 32-33
- ^ Kline 1983 págs. 307-308
- ^ Moore p.2
- ^ Smail p.3
- ↑ La primera referencia de Wolff a la carta publicada en el Acta Eruditorum aparece en una carta escrita desde Halle, Sajonia-Anhalt fechada el 12 de junio de 1712; Gerhardt págs. 143-146.
- ^ Págs. 2-3 de Moore; La carta de Leibniz está en Gerhardt pp.147-148, fechada el 13 de julio de 1712 desde Hannover .
- ↑ Dutka p.20
- ^ Upham y Stewart págs. 479, 480, que citan a Laplace págs. 194, 195.
- ^ a b Knopp p.457
- ^ Ferraro 2002 p.181
- ↑ Cantor (p.96) hace la cita " unde paradoxum fluit non inelegans ", citando a Ebenda II, 751.
- ↑ Para conocer el posible significado de la omisión, consulte Panza p.339.
- ^ Panza p. 339; Varignon págs. 203, 225; Gerhardt p.187
- ^ Hitt págs.147-148
- ↑ Bagni (p.4) identifica la carta como "probablemente escrita en 1715", citando Una famiglia di matematici… de Michieli de 1943, p. 579
- ^ Bagni p.5
- ↑ Bougainville vol.1, ch.22, pts.318-320, pp.309-312; Schubring p.29
- ^ Euler 1760 §§3-5, págs. 206-207; Traducción al inglés en Barbeau y Leah pp.145-146
- ^ Euler 1760 §10 y principios de §11, p.211; Traducción al inglés de Barbeau y Leah (p.148)
- ^ Grattan-Guinness págs. 68-69
- ↑ De Morgan p.10
- ^ Hardy p.14; Bromwich pág.322
- ↑ Sandifer p.1
- ^ Bromwich págs. 319-320, Lehmann pág. 176, Kline 1972 pág. 463; aquí Bromwich parece citar Leçons sur les Séries Divergentes de Borel, págs. 1-10.
- ↑ Hardy p.18
- ↑ Grattan-Guinness p.71
- ^ SEÑORA págs. 363-365
- ↑ Sbaragli p.27; no se da la fuente primaria de Bolzano, pero parece ser Moreno y Waldegg (1991), "La evolución conceptual del infinito matemático actual". Estudios educativos en matemáticas . 22, 211-231. La fuente principal de Cantor es su Gesammelte Abhandlngen de 1932.
- ^ Kline 1972 p.976
- ^ a b Hardy p.19
- ↑ Hardy p.20
- ↑ Earnshaw p.261, citado parcialmente en De Morgan 1864 p.1
- ^ De Morgan 1864 págs. 1-2; los énfasis son suyos
- ^ Por ejemplo, se presenta como tal en Smail pp.3-4.
- ^ Raabe p. 355; Frobenius p.262
- ^ Smail p.4
- ^ Ferraro 1999 p.116
- ^ Ferraro 1999 págs. 117, 128
Referencias
- Fuentes primarias citadas
Los textos completos de muchas de las siguientes referencias están disponibles públicamente en Internet en Google Books ; el archivo Euler en Dartmouth College ; DigiZeitschriften, un servicio de Deutsche Forschungsgemeinschaft ; o Gallica, un servicio de la Bibliothèque nationale de France .
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