En análisis matemático , la prueba de series alternas es el método utilizado para demostrar que una serie alterna con términos que disminuyen en valor absoluto es una serie convergente . La prueba fue utilizada por Gottfried Leibniz y, a veces se conoce como prueba de Leibniz , la regla de Leibniz , o el criterio de Leibniz .
Formulación
Una serie de la forma
donde ya sea todo un n son positivos o todos un n son negativos, se llama una serie alternante .
La prueba de series alternas dice: sidisminuye monótonamente [1] y entonces la serie alterna converge.
Además, denote L la suma de la serie, luego la suma parcial
se aproxima a L con un error delimitado por el siguiente término omitido:
Prueba
Supongamos que se nos da una serie de la forma , dónde y para todos los números naturales n . (El casosigue tomando el negativo.) [1]
Prueba de convergencia
Demostraremos que tanto las sumas parciales con un número impar de términos, y con número par de términos, convergen al mismo número L . Así, la suma parcial habitualTambién converge a L .
Las sumas parciales impares disminuyen monótonamente:
mientras que las sumas parciales aumentan monótonamente:
ambos porque a n disminuye monótonamente con n .
Además, dado que un n son positivos,. Por lo tanto, podemos recopilar estos hechos para formar la siguiente desigualdad sugerente:
Ahora, tenga en cuenta que a 1 - a 2 es un límite inferior de la secuencia monotónicamente decreciente S 2m + 1 , el teorema de convergencia monótona implica entonces que esta secuencia converge cuando m se acerca al infinito. De manera similar, la secuencia de suma incluso parcial también converge.
Finalmente, deben converger al mismo número porque
Llame al límite L , entonces el teorema de convergencia monótono también nos dice información adicional que
para cualquier m . Esto significa que las sumas parciales de una serie alterna también "alternan" por encima y por debajo del límite final. Más precisamente, cuando hay un número impar (par) de términos, es decir, el último término es un término más (menos), entonces la suma parcial está por encima (por debajo) del límite final.
Esta comprensión conduce inmediatamente a un límite de error de sumas parciales, que se muestra a continuación.
Prueba de límite de error de suma parcial
Nos gustaría mostrar dividiéndolo en dos casos.
Cuando k = 2m + 1, es decir, impar, entonces
Cuando k = 2m, es decir, par, entonces
como se desee.
Ambos casos se basan esencialmente en la última desigualdad derivada de la demostración anterior.
Para obtener una prueba alternativa utilizando la prueba de convergencia de Cauchy , consulte Series alternas .
Para una generalización, consulte la prueba de Dirichlet .
Contraejemplo
Todas las condiciones de la prueba, a saber, la convergencia a cero y la monotonicidad, deben cumplirse para que la conclusión sea cierta. Por ejemplo, tome la serie
Los signos se alternan y los términos tienden a cero. Sin embargo, la monotonicidad no está presente y no podemos aplicar la prueba. En realidad, la serie es divergente. De hecho, para la suma parcial tenemos que es el doble de la suma parcial de la serie armónica, que es divergente. Por tanto, la serie original es divergente.
Ver también
Notas
Referencias
- ^ La prueba sigue la idea dada por James Stewart (2012) “Cálculo: principios trascendentales, séptima edición” págs. 727–730. ISBN 0-538-49790-4
- ^ Dawkins, Paul. "Cálculo II - Prueba de series alternas" . Notas de matemáticas en línea de Paul . Universidad Lamar . Consultado el 1 de noviembre de 2019 .
- Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series , § 3.4, Publicaciones de DoverISBN 0-486-60153-6
- Konrad Knopp (1990) Teoría y aplicación de Infinite Series , § 15, Publicaciones de DoverISBN 0-486-66165-2
- ET Whittaker y GN Watson (1963) Un curso de análisis moderno , cuarta edición, §2.3, Cambridge University PressISBN 0-521-58807-3