El rompecabezas de embalaje de Hoffman
El rompecabezas de empaque de Hoffman es un rompecabezas de ensamblaje que lleva el nombre de Dean G. Hoffman , quien lo describió en 1978. [1] El rompecabezas consta de 27 cuboides rectangulares idénticos , cada uno de cuyos bordes tiene tres longitudes diferentes. Su objetivo es ensamblarlos todos para que quepan dentro de un cubo cuya longitud de borde es la suma de las tres longitudes. [2] [3]
Hoffman (1981) escribe que la primera persona en resolver el acertijo fue David A. Klarner , y que los tiempos de solución típicos pueden oscilar entre 20 minutos y varias horas. [2]
El rompecabezas en sí consta solo de 27 bloques rectangulares idénticos en forma de cuboide , aunque las realizaciones físicas del rompecabezas también suelen proporcionar una caja cúbica para colocar los bloques. Si las tres longitudes de los bordes del bloque son x , y y z , entonces el cubo debe tener una longitud de borde x + y + z . Aunque el rompecabezas se puede construir con tres longitudes de borde diferentes, es más difícil cuando las tres longitudes de los bordes de los bloques están lo suficientemente cerca como para que x + y + z <4 min ( x , y , z ), ya que esto evita soluciones alternativas en las que cuatro bloques del ancho mínimo se empaquetan uno al lado del otro. Además, hacer que las tres longitudes formen una progresión aritmética puede hacer que sea más confuso, porque en este caso, colocar tres bloques del ancho medio uno al lado del otro produce una fila del ancho total correcto pero que no puede llevar a una solución válida al ancho total. todo el rompecabezas. [2]
Cada solución válida del rompecabezas organiza los bloques en una cuadrícula de bloques de aproximadamente 3 × 3 × 3 , con los lados de los bloques paralelos a los lados del cubo exterior, y con un bloque de cada ancho a lo largo de cada línea de eje paralelo. de tres cuadras. Contando las reflexiones y rotaciones como si fueran la misma solución entre sí, el rompecabezas tiene 21 soluciones combinatoriamente distintas. [2] [4]
El volumen total de las piezas, 27 xyz , es menor que el volumen ( x + y + z ) 3 del cubo en el que se empaquetan. Si se toma la raíz cúbica de ambos volúmenes y se divide por tres, entonces el número obtenido de esta manera del volumen total de las piezas es la media geométrica de x , y , yz , mientras que el número obtenido de la misma manera de el volumen del cubo es su media aritmética . El hecho de que las piezas tengan menos volumen total que el cubo se deriva de la desigualdad de las medias aritmética y geométrica . [2][3]
Un análogo de dos dimensiones del rompecabezas pide para empacar cuatro rectángulos idénticos de longitudes de lado x y y en un cuadrado de longitud de lado x + y ; como muestra la figura, esto siempre es posible. En d dimensiones, el rompecabezas pide empaquetar d d bloques idénticos en un hipercubo . Mediante un resultado de Raphael M. Robinson, esto se puede resolver nuevamente siempre que d = d 1 × d 2 para dos números d 1 y d 2 tales que d 1 - y dLos casos bidimensionales se pueden resolver en sí mismos. Por ejemplo, de acuerdo con este resultado, se puede resolver para las dimensiones 4, 6, 8, 9 y otros números de 3 suaves . En todas las dimensiones, la desigualdad de las medias geométricas y aritméticas muestra que el volumen de las piezas es menor que el volumen del hipercubo en el que deben empaquetarse. Sin embargo, se desconoce si el rompecabezas se puede resolver en cinco dimensiones o endimensiones de números primos más altos. [2] [5]
