Distribución T-cuadrada de Hotelling

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En estadística , particularmente en la prueba de hipótesis , la distribución T cuadrada de Hotelling ( T ² ), propuesta por Harold Hotelling , ^[1] es una distribución de probabilidad multivariada que está estrechamente relacionada con la distribución F y es más notable por surgir como la distribución de un conjunto de estadísticos muestrales que son generalizaciones naturales de los estadísticos subyacentes a la distribución t de Student . El estadístico t cuadrado de Hotelling ( t ²) es una generalización del estadístico t de Student que se utiliza en pruebas de hipótesis multivariadas . ^[2]

La distribución surge en las estadísticas multivariadas al realizar pruebas de las diferencias entre las medias (multivariadas) de diferentes poblaciones, donde las pruebas para problemas univariados harían uso de una prueba t . La distribución lleva el nombre de Harold Hotelling , quien la desarrolló como una generalización de la distribución t de Student. ^[1]

Si el vector tiene una distribución multivariada gaussiana con media cero y matriz de covarianza unitaria y es una matriz con matriz de escala unitaria y m grados de libertad con una distribución de Wishart , entonces la forma cuadrática tiene una distribución de Hotelling (con parámetros y ): ^[3]${\ estilo de visualización d}$ ${\displaystyle N(\mathbf {0}_{p},\mathbf {I}_{p,p})}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización p \ veces p}$ ${\ estilo de visualización W (\ mathbf {I} _ {p, p}, m)}$ ${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización p}$${\ estilo de visualización m}$

Además, si una variable aleatoria X tiene la distribución T cuadrada de Hotelling , entonces: ^[1]${\displaystyle X\sim T_{p,m}^{2}}$

donde está la distribución F con parámetros p y m−p+1 .${\displaystyle F_{p,m-p+1}}$

Sea la covarianza muestral :${\displaystyle {\sombrero {\mathbf {\Sigma}}}}$

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