En estadísticas multivariadas , sies un vector de variables aleatorias , y es un -matriz simétrica dimensional , luego la cantidad escalarse conoce como forma cuadrática en.
Expectativa
Se puede demostrar que [1]
dónde y son el valor esperado y la matriz de varianza-covarianza de, respectivamente, y tr denota el rastro de una matriz. Este resultado solo depende de la existencia de y ; en particular, la normalidad deno es necesario.
Un libro que trata el tema de las formas cuadráticas en variables aleatorias es el de Mathai y Provost. [2]
Prueba
Dado que la forma cuadrática es una cantidad escalar, .
A continuación, por la propiedad cíclica del operador de seguimiento ,
Dado que el operador de traza es una combinación lineal de los componentes de la matriz, de la linealidad del operador de expectativa se sigue que
Una propiedad estándar de las varianzas nos dice entonces que esto es
Aplicando la propiedad cíclica del operador de seguimiento nuevamente, obtenemos
Varianza en el caso gaussiano
En general, la varianza de una forma cuadrática depende en gran medida de la distribución de . Sin embargo, si no siguen una distribución normal multivariante, la varianza de la forma cuadrática se vuelve particularmente tratable. Asuma por el momento quees una matriz simétrica. Luego,
- . [3]
De hecho, esto se puede generalizar para encontrar la covarianza entre dos formas cuadráticas en el mismo (una vez más, y ambos deben ser simétricos):
- . [4]
Calcular la varianza en el caso no simétrico
Algunos textos afirman incorrectamente [ cita requerida ] que los resultados de varianza o covarianza anteriores se mantienen sin requerirser simétrico. El caso de general se puede derivar notando que
entonces
es una forma cuadrática en la matriz simétrica, por lo que las expresiones de media y varianza son las mismas, siempre que es reemplazado por en esto.
Ejemplos de formas cuadráticas
En el escenario donde uno tiene un conjunto de observaciones y una matriz de operadores , entonces la suma de cuadrados residual se puede escribir como una forma cuadrática en:
Para procedimientos donde la matriz es simétrico e idempotente , y los errores son gaussianos con matriz de covarianza, tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad y parámetro de no centralidad , dónde
se puede encontrar haciendo coincidir los dos primeros momentos centrales de una variable aleatoria chi-cuadrado no central con las expresiones dadas en las dos primeras secciones. Si estimados sin sesgo , entonces la no centralidad es cero y sigue una distribución central de chi-cuadrado.
Ver también
Referencias
- ^ Bates, Douglas. "Formas cuadráticas de variables aleatorias" (PDF) . STAT 849 conferencias . Consultado el 21 de agosto de 2011 .
- ^ Mathai, AM y Rector, Serge B. (1992). Formas cuadráticas en variables aleatorias . Prensa CRC. pag. 424. ISBN 978-0824786915.
- ^ Rencher, Alvin C .; Schaalje, G. Bruce. (2008). Modelos lineales en estadística (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley-Interscience. ISBN 9780471754985. OCLC 212120778 .
- ^ Graybill, Franklin A. Matrices con aplicaciones en estadística (2. ed.). Wadsworth: Belmont, California pág. 367. ISBN 0534980384.