Función hipergeométrica

Función especial definida por una serie hipergeométrica

El término "función hipergeométrica" ​​a veces se refiere a la función hipergeométrica generalizada . Para otras funciones hipergeométricas, consulte Ver también .

En matemáticas , la función hipergeométrica gaussiana u ordinaria ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) es una función especial representada por la serie hipergeométrica , que incluye muchas otras funciones especiales como casos específicos o limitantes . Es una solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) de segundo orden . Cada EDO lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede transformar en esta ecuación.

Para obtener listas sistemáticas de algunas de las miles de identidades publicadas que involucran la función hipergeométrica, consulte los trabajos de referencia de Erdélyi et al. (1953) y Olde Daalhuis (2010) . No existe un sistema conocido para organizar todas las identidades; de hecho, no existe un algoritmo conocido que pueda generar todas las identidades; Se conocen varios algoritmos diferentes que generan distintas series de identidades. La teoría del descubrimiento algorítmico de identidades sigue siendo un tema de investigación activo.error de harvtxt: sin destino: CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( ayuda )

Historia

El término "serie hipergeométrica" ​​fue utilizado por primera vez por John Wallis en su libro de 1655 Arithmetica Infinitorum .

Leonhard Euler estudió las series hipergeométricas , pero Carl Friedrich Gauss  ( 1813 ) dio el primer tratamiento sistemático completo .

Los estudios del siglo XIX incluyeron los de Ernst Kummer  ( 1836 ), y la caracterización fundamental de Bernhard Riemann  ( 1857 ) de la función hipergeométrica mediante la ecuación diferencial que satisface.

Riemann demostró que la ecuación diferencial de segundo orden para ₂ F ₁ ( z ), examinada en el plano complejo, podría caracterizarse (en la esfera de Riemann ) por sus tres singularidades regulares .

Los casos en los que las soluciones son funciones algebraicas fueron encontrados por Hermann Schwarz ( lista de Schwarz ).

La serie hipergeométrica

La función hipergeométrica se define para | z | <1 por la serie de potencias

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$

No está definido (o es infinito) si c es igual a un número entero no positivo. Aquí ( q ) _n es el símbolo de Pochhammer (ascendente) , que se define por:

${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$

Los termina la serie si cualquiera de una o b es un entero no positiva, en cuyo caso la función se reduce a un polinomio:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$

Para argumentos complejos z con | z | ≥ 1 se puede continuar analíticamente a lo largo de cualquier camino en el plano complejo que evita los puntos de ramificación 1 e infinito.

Como c → - m , donde m es un número entero no negativo, uno tiene ₂ F ₁ ( z ) → ∞ . Dividiendo por el valor Γ ( c ) de la función gamma , tenemos el límite:

${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$

₂ F ₁ ( z ) es el tipo más habitual de serie hipergeométrica generalizada _p F _q , y a menudo se denomina simplemente F ( z ) .

Fórmulas de diferenciación

Usando la identidad , se demuestra que${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$

y más en general,

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$

En el caso especial que , tenemos${\displaystyle c=a+1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z)={\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(b,a;a+1;z)={\frac {a((1-z)^{-b}-{}_{2}F_{1}(a,b;1+a;z))}{z}}}$

Casos especiales

Muchas de las funciones matemáticas comunes pueden expresarse en términos de la función hipergeométrica, o como casos limitantes de la misma. Algunos ejemplos típicos son

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a},\quad (\forall b)\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$

La función hipergeométrica confluente (o función de Kummer) se puede dar como límite de la función hipergeométrica

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$

por tanto, todas las funciones que son esencialmente casos especiales de ella, como las funciones de Bessel , pueden expresarse como límites de funciones hipergeométricas. Estos incluyen la mayoría de las funciones comúnmente utilizadas de la física matemática.

Las funciones de Legendre son soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden con 3 puntos singulares regulares, por lo que se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica de muchas maneras, por ejemplo

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$

Varios polinomios ortogonales, incluidos los polinomios de Jacobi P^{(α, β)}
_ny sus casos especiales polinomios de Legendre , polinomios de Chebyshev , polinomios de Gegenbauer se pueden escribir en términos de funciones hipergeométricas usando

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$

Otros polinomios que son casos especiales incluyen polinomios de Krawtchouk , polinomios de Meixner , polinomios de Meixner-Pollaczek .

Las funciones modulares elípticas a veces se pueden expresar como funciones inversas de razones de funciones hipergeométricas cuyos argumentos a , b , c son 1, 1/2, 1/3, ... o 0. Por ejemplo, si

${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}}$

luego

${\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$

es una función modular elíptica de τ.

Las funciones beta incompletas B _x ( p , q ) están relacionadas por

${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}$

Las integrales elípticas completas K y E están dadas por

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

La ecuación diferencial hipergeométrica

La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial hipergeométrica de Euler

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

que tiene tres puntos singulares regulares : 0,1 y ∞. La generalización de esta ecuación a tres puntos singulares regulares arbitrarios viene dada por la ecuación diferencial de Riemann . Cualquier ecuación diferencial de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede convertir a la ecuación diferencial hipergeométrica mediante un cambio de variables.

Soluciones en los puntos singulares

Las soluciones de la ecuación diferencial hipergeométrica se construyen a partir de la serie hipergeométrica ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). La ecuación tiene dos soluciones linealmente independientes . En cada uno de los tres puntos singulares 0, 1, ∞, generalmente hay dos soluciones especiales de la forma x ^{s por} una función holomórfica de x , donde s es una de las dos raíces de la ecuación indicial yx es una variable local que desaparece. en el punto singular regular. Esto da 3 × 2 = 6 soluciones especiales, como sigue.

Alrededor del punto z  = 0, dos soluciones independientes son, si c no es un entero no positivo,

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

y, con la condición de que c no sea un número entero,

${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

Si c es un número entero no positivo 1− m , entonces la primera de estas soluciones no existe y debe ser reemplazada por La segunda solución no existe cuando c es un número entero mayor que 1 y es igual a la primera solución, o su reemplazo, cuando c es cualquier otro número entero. Entonces, cuando c es un número entero, se debe usar una expresión más complicada para una segunda solución, igual a la primera solución multiplicada por ln ( z ), más otra serie en potencias de z , que involucra la función digamma . Ver Olde Daalhuis (2010) para más detalles.${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$ harvtxt error: no target: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (help)

Alrededor de z  = 1, si c  -  a  -  b no es un número entero, uno tiene dos soluciones independientes

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

y

${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$

Alrededor de z  = ∞, si a  -  b no es un número entero, uno tiene dos soluciones independientes

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$

y

${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$

Nuevamente, cuando no se cumplen las condiciones de no integralidad, existen otras soluciones que son más complicadas.

Cualquiera 3 de las 6 soluciones anteriores satisfacen una relación lineal ya que el espacio de soluciones es bidimensional, lo que da (⁶
₃) = 20 relaciones lineales entre ellas llamadas fórmulas de conexión .

Las 24 soluciones de Kummer

Una ecuación fucsiana de segundo orden con n puntos singulares tiene un grupo de simetrías que actúan (proyectivamente) sobre sus soluciones, isomorfo al grupo de Coxeter D _n de orden n ! 2 ^{n −1} . Para la ecuación hipergeométrica n = 3, entonces el grupo es de orden 24 y es isomorfo al grupo simétrico en 4 puntos, y fue descrito por primera vez por Kummer . El isomorfismo con el grupo simétrico es accidental y no tiene análogo para más de 3 puntos singulares, y a veces es mejor pensar en el grupo como una extensión del grupo simétrico en 3 puntos (actuando como permutaciones de los 3 puntos singulares) por un grupo Klein de 4(cuyos elementos cambian los signos de las diferencias de los exponentes en un número par de puntos singulares). El grupo de Kummer de 24 transformaciones es generado por las tres transformaciones tomando una solución F ( a , b ; c ; z ) a una de

${\displaystyle (1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle F(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

que corresponden a las transposiciones (12), (23) y (34) bajo un isomorfismo con el grupo simétrico en 4 puntos 1, 2, 3, 4. (El primero y tercero de estos son en realidad iguales a F ( a , b ; c ; z ) mientras que la segunda es una solución independiente de la ecuación diferencial.)

Al aplicar las transformaciones de Kummer 24 = 6 × 4 a la función hipergeométrica se obtienen las soluciones 6 = 2 × 3 anteriores correspondientes a cada uno de los 2 posibles exponentes en cada uno de los 3 puntos singulares, cada uno de los cuales aparece 4 veces debido a las identidades

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)\ \ \ {\text{Euler transformation}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{Pfaff transformation}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{Pfaff transformation}}}$

Q-form

La ecuación diferencial hipergeométrica puede llevarse a la forma Q

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$

haciendo la sustitución w = uv y eliminando el término de la primera derivada. Uno encuentra que

${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$

y v es dada por la solución a

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$

cual es

${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$

La forma Q es significativa en su relación con la derivada de Schwarz ( Hille 1976 , págs. 307–401).

Mapas de triángulos de Schwarz

Ver también: función del triángulo de Schwarz

Los mapas de triángulos de Schwarz o las funciones- s de Schwarz son razones de pares de soluciones.

${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$

donde k es uno de los puntos 0, 1, ∞. La notación

${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$

también se utiliza a veces. Tenga en cuenta que los coeficientes de conexión se convierten en transformaciones de Möbius en los mapas de triángulos.

Tenga en cuenta que cada mapa de triángulos es regular en z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, con

${\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))}$

${\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))}$

y

${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$

En el caso especial de λ, μ y ν reales, con 0 ≤ λ, μ, ν <1, entonces los s-maps son mapas conformes del semiplano superior H a triángulos en la esfera de Riemann , delimitados por arcos circulares. Este mapeo es una generalización del mapeo de Schwarz-Christoffel a triángulos con arcos circulares. Los puntos singulares 0,1 y ∞ se envían a los vértices del triángulo. Los ángulos del triángulo son πλ, πμ y πν respectivamente.

Además, en el caso de λ = 1 / p , μ = 1 / q y ν = 1 / r para los números enteros p , q , r , entonces el triángulo cubre la esfera, el plano complejo o el semiplano superior según λ + μ + ν - 1 es positivo, cero o negativo; y los mapas-s son funciones inversas de funciones automórficas para el grupo de triángulos〈p ,  q ,  r〉 = Δ ( p ,  q ,  r ).

Grupo de monodromía

La monodromía de una ecuación hipergeométrica describe cómo las soluciones fundamentales cambian cuando analíticamente continúan alrededor de caminos en el plano z que regresan al mismo punto. Es decir, cuando la trayectoria gira alrededor de una singularidad de ₂ F ₁ , el valor de las soluciones en el punto final será diferente del punto de partida.

Dos soluciones fundamentales de la ecuación hipergeométrica están relacionadas entre sí mediante una transformación lineal; por lo tanto, la monodromía es un mapeo (homomorfismo de grupo):

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$

donde π ₁ es el grupo fundamental . En otras palabras, la monodromía es una representación lineal bidimensional del grupo fundamental. El grupo de monodromía de la ecuación es la imagen de este mapa, es decir, el grupo generado por las matrices de monodromía. La representación monodromía del grupo fundamental se puede calcular explícitamente en términos de los exponentes en los puntos singulares. ^[1] Si (α, α '), (β, β') y (γ, γ ') son los exponentes en 0, 1 y ∞, entonces, tomando z ₀ cerca de 0, los bucles alrededor de 0 y 1 tienen monodromía matrices

${\displaystyle g_{0}={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\,\,\,}$ y ${\displaystyle \,\,\,g_{1}={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$

Si 1- a , c - a - b , a - b son números racionales no enteros con denominadores k , l , m , entonces el grupo de monodromía es finito si y solo si , consulte la lista de Schwarz o el algoritmo de Kovacic .${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

Fórmulas integrales

Tipo de Euler

Si B es la función beta, entonces

${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$

siempre que z no sea un número real tal que sea mayor o igual a 1. y pueda demostrarse expandiendo (1 -  zx ) ^{- a} usando el teorema del binomio y luego integrando término por término para z con valor absoluto menor que 1 y por la continuación analítica en otros lugares. Cuando z es un número real mayor o igual que 1, se debe utilizar la continuación analítica porque (1 -  zx ) es cero en algún punto del soporte de la integral, por lo que el valor de la integral puede estar mal definido. Esto fue dado por Euler en 1748 e implica las transformaciones hipergeométricas de Euler y Pfaff.

Otras representaciones, correspondientes a otras ramas , se dan tomando el mismo integrando, pero tomando el camino de la integración como un ciclo cerrado de Pochhammer que encierra las singularidades en varios órdenes. Tales caminos corresponden a la acción de la monodromía .

Barnes integral

Barnes usó la teoría de residuos para evaluar la integral de Barnes

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$

como

${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

donde se dibuja el contorno para separar los polos 0, 1, 2 ... de los polos - a , - a  - 1, ..., - b , - b  - 1, .... Esto es válido siempre que z no sea un número real no negativo.

John transform

La función hipergeométrica de Gauss se puede escribir como una transformación de John ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2).

Relaciones contiguas de Gauss

Las seis funciones

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$

se llaman contiguos a ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Gauss demostró que ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) se puede escribir como una combinación lineal de dos de sus funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de a , b , c y z . Esto da

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$

relaciones, dadas mediante la identificación de dos líneas cualesquiera en el lado derecho de

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$

donde F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) , y así sucesivamente. La aplicación repetida de estas relaciones da una relación lineal sobre C (z) entre tres funciones cualesquiera de la forma

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$

donde m , n y l son números enteros.

Fracción continua de Gauss

Artículo principal: fracción continua de Gauss

Gauss usó las relaciones contiguas para dar varias formas de escribir un cociente de dos funciones hipergeométricas como una fracción continua, por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Fórmulas de transformación

Las fórmulas de transformación relacionan dos funciones hipergeométricas en diferentes valores del argumento z .

Transformaciones lineales fraccionales

La transformación de Euler es

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$

Sigue combinando las dos transformaciones de Pfaff

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

que a su vez se derivan de la representación integral de Euler. Para una extensión de la primera y segunda transformaciones de Euler, ver Rathie & Paris (2007) y Rakha & Rathie (2011) . También se puede escribir como combinación lineal.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$

Transformaciones cuadráticas

Si dos de los números 1 -  c , c  - 1, a  -  b , b  -  a , a  +  b  -  c , c  -  a  -  b son iguales o uno de ellos es 1/2, entonces hay una transformación cuadrática del función hipergeométrica, conectándola a un valor diferente de z relacionado por una ecuación cuadrática. Los primeros ejemplos fueron dados por Kummer (1836) , y Goursat (1881) proporcionó una lista completa . Un ejemplo típico es

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$

Transformaciones de orden superior

Si 1− c , a - b , a + b - c difieren en signos o dos de ellos son 1/3 o −1/3, entonces hay una transformación cúbica de la función hipergeométrica, conectándola a un valor diferente de z relacionado por una ecuación cúbica. Los primeros ejemplos los dio Goursat (1881) . Un ejemplo típico es

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$

También hay algunas transformaciones de grado 4 y 6. Transformaciones de otros grados sólo existen si una , b , y c son ciertos números racionales ( Vidunas 2005 ). Por ejemplo,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$

Valores en puntos especiales z

Véase Slater (1966 , Apéndice III) para obtener una lista de fórmulas de suma en puntos especiales, la mayoría de las cuales también aparecen en Bailey (1935) . Gessel y Stanton (1982) ofrecen evaluaciones adicionales en más puntos. Koepf (1995) muestra cómo la mayoría de estas identidades pueden verificarse mediante algoritmos informáticos.

Valores especiales en z  = 1

El teorema de la suma de Gauss, llamado así por Carl Friedrich Gauss , es la identidad

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$

que se sigue de la fórmula integral de Euler poniendo z  = 1. Incluye la identidad de Vandermonde como un caso especial.

Para el caso especial donde , ${\displaystyle a=-m}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$

La fórmula de Dougall generaliza esto a la serie hipergeométrica bilateral en z  = 1.

Teorema de Kummer ( z  = −1)

Hay muchos casos en los que las funciones hipergeométricas se pueden evaluar en z  = −1 usando una transformación cuadrática para cambiar z  = −1 a z  = 1 y luego usando el teorema de Gauss para evaluar el resultado. Un ejemplo típico es el teorema de Kummer, llamado así por Ernst Kummer :

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$

que se sigue de las transformaciones cuadráticas de Kummer

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

y el teorema de Gauss poniendo z  = −1 en la primera identidad. Para una generalización del resumen de Kummer, véase Lavoie, Grondin y Rathie (1996) .

Valores en z  = 1/2

El segundo teorema de la suma de Gauss es

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

El teorema de Bailey es

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

Para generalizaciones del segundo teorema de la suma de Gauss y del teorema de la suma de Bailey, consulte Lavoie, Grondin y Rathie (1996) .

Otros puntos

Hay muchas otras fórmulas que dan la función hipergeométrica como un número algebraico con valores racionales especiales de los parámetros, algunos de los cuales se enumeran en Gessel y Stanton (1982) y Koepf (1995) . Algunos ejemplos típicos son dados por

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$

que se puede reformular como

${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$

siempre que −π < x <π y T es el polinomio (generalizado) de Chebyshev .

Ver también

• Serie de Appell , una generalización de 2 variables de series hipergeométricas
• Serie hipergeométrica básica donde la razón de términos es una función periódica del índice
• Las series hipergeométricas bilaterales _p H _p son similares a las series hipergeométricas generalizadas, pero suman todos los números enteros
• Serie binomial ₁ F ₀
• Serie hipergeométrica confluente ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Serie hipergeométrica elíptica donde la relación de términos es una función elíptica del índice
• Integral hipergeométrica de Euler , una representación integral de ₂ F ₁
• Función Fox H , una extensión de la función G de Meijer
• Función de Fox-Wright , una generalización de la función hipergeométrica generalizada
• Solución de Frobenius a la ecuación hipergeométrica
• Función hipergeométrica general introducida por IM Gelfand .
• Serie hipergeométrica generalizada _p F _q donde la razón de términos es una función racional del índice
• Serie geométrica , donde la razón de términos es una constante.
• Función de Heun , soluciones de EDO de segundo orden con cuatro puntos singulares regulares
• Función de bocina , 34 series hipergeométricas convergentes distintas en dos variables
• Serie de Humbert 7 funciones hipergeométricas de 2 variables
• Distribución hipergeométrica , una distribución de probabilidad discreta
• Función hipergeométrica de un argumento de matriz , la generalización multivariante de la serie hipergeométrica
• Función Kampé de Fériet , serie hipergeométrica de dos variables
• Serie hipergeométrica de Lauricella , serie hipergeométrica de tres variables
• Función E de MacRobert , una extensión de la serie hipergeométrica generalizada _p F _q al caso p > q +1.
• Función G de Meijer , una extensión de la serie hipergeométrica generalizada _p F _q al caso p > q +1.
• Serie hipergeométrica modular , una forma final de la serie hipergeométrica elíptica
• Serie hipergeométrica Theta , un tipo especial de serie hipergeométrica elíptica.
• Bloques conformes de Virasoro , funciones especiales en la teoría de campos conformes bidimensionales que se reducen a funciones hipergeométricas en algunos casos.

Referencias

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Enlaces externos

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• John Pearson, Computación de funciones hipergeométricas ( Universidad de Oxford , Tesis de maestría)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf y Doron Zeilberger, El libro "A = B" (descarga gratuita)
• Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica" . MathWorld .