Entonces esto satisface la definición con A ( n ) = 1 y B ( n ) = n + 1 .
Se acostumbra factorizar el término principal, por lo que se supone que β 0 es 1. Los polinomios se pueden factorizar en factores lineales de la forma ( a j + n ) y ( b k + n ) respectivamente, donde a j y b k son números complejos .
Por razones históricas, se asume que (1 + n ) es un factor de B . Si este no es el caso, entonces tanto A como B pueden multiplicarse por este factor; el factor se cancela por lo que los términos no se modifican y no hay pérdida de generalidad.
La relación entre coeficientes consecutivos ahora tiene la forma
,
donde c y d son las principales coeficientes de A y B . La serie entonces tiene la forma
,
o, escalando z por el factor apropiado y reordenando,
que podría escribirse z a −1 e −z 2 F 0 (1− a , 1 ;; - z −1 ). Sin embargo, el uso del término serie hipergeométrica generalmente se restringe al caso en el que la serie define una función analítica real.
La serie hipergeométrica ordinaria no debe confundirse con la serie hipergeométrica básica , que, a pesar de su nombre, es una serie bastante más complicada y recóndita. La serie "básica" es el q-análogo de la serie hipergeométrica ordinaria. Hay varias generalizaciones de este tipo de las series hipergeométricas ordinarias, incluidas las que provienen de funciones esféricas zonales en espacios simétricos de Riemann .
¡La serie sin el factor n ! en el denominador (sumado a todos los números enteros n , incluido el negativo) se denomina serie hipergeométrica bilateral .
Condiciones de convergencia
Hay ciertos valores de a j y b k para los cuales el numerador o denominador de los coeficientes es 0.
Si cualquier a j es un número entero no positivo (0, −1, −2, etc.) entonces la serie solo tiene un número finito de términos y es, de hecho, un polinomio de grado - a j .
Si cualquier b k es un número entero no positivo (excepto el caso anterior con - b k < a j ) entonces los denominadores se vuelven 0 y la serie no está definida.
Excluyendo estos casos, se puede aplicar la prueba de razón para determinar el radio de convergencia.
Si p < q + 1, entonces la relación de coeficientes tiende a cero. Esto implica que la serie converge para cualquier valor finito de z y, por lo tanto, define una función completa de z . Un ejemplo es la serie de potencias de la función exponencial.
Si p = q + 1 entonces la razón de coeficientes tiende a uno. Esto implica que la serie converge para | z | <1 y diverge para | z | > 1. Si converge para | z | = 1 es más difícil de determinar. La continuación analítica se puede emplear para valores mayores de z .
Si p > q + 1 entonces la razón de coeficientes crece sin límite. Esto implica que, además de z = 0, la serie diverge. Esta es entonces una serie divergente o asintótica, o puede interpretarse como una abreviatura simbólica de una ecuación diferencial que la suma satisface formalmente.
La cuestión de la convergencia para p = q +1 cuando z está en el círculo unitario es más difícil. Se puede demostrar que la serie converge absolutamente en z = 1 si
.
Además, si p = q +1,y z es real, entonces el siguiente resultado convergencia sostiene Quigley et al. (2013) :
.
Propiedades básicas
Es inmediato a partir de la definición que el orden de los parámetros a j , o el orden de los parámetros b k se puede cambiar sin cambiar el valor de la función. Además, si alguno de los parámetros a j es igual a cualquiera de los parámetros b k , entonces los parámetros coincidentes pueden "cancelarse", con ciertas excepciones cuando los parámetros son números enteros no positivos. Por ejemplo,
.
Esta cancelación es un caso especial de una fórmula de reducción que se puede aplicar siempre que un parámetro en la fila superior difiera de uno en la fila inferior por un número entero no negativo. [1]
Transformada integral de Euler
La siguiente identidad básica es muy útil ya que relaciona las funciones hipergeométricas de orden superior en términos de integrales sobre las de orden inferior [2]
Diferenciación
La función hipergeométrica generalizada satisface
y
Adicionalmente,
La combinación de estos da una ecuación diferencial satisfecha por w = p F q :
.
Función contigua e identidades relacionadas
Toma el siguiente operador:
De las fórmulas de diferenciación dadas anteriormente, el espacio lineal abarcado por
contiene cada uno de
Dado que el espacio tiene dimensión 2, tres de estas funciones p + q +2 son linealmente dependientes. Estas dependencias se pueden escribir para generar una gran cantidad de identidades que involucran.
Del mismo modo, al aplicar las fórmulas de diferenciación dos veces, hay tales funciones contenidas en
que tiene dimensión tres, por lo que cuatro son linealmente dependientes. Esto genera más identidades y el proceso puede continuar. Las identidades así generadas se pueden combinar entre sí para producir otras nuevas de una manera diferente.
Una función obtenida sumando ± 1 exactamente a uno de los parámetros a j , b k en
se llama contiguo a
Usando la técnica descrita anteriormente, una identidad que relaciona y sus dos funciones contiguas se pueden dar, seis identidades que relacionan y dos de sus cuatro funciones contiguas, y quince identidades relacionadas y se han encontrado dos de sus seis funciones contiguas. (El primero se derivó del párrafo anterior. Los últimos quince fueron dados por Gauss en su artículo de 1812).
Identidades
En los siglos XIX y XX se descubrieron otras identidades de funciones hipergeométricas. Una contribución del siglo XX a la metodología para probar estas identidades es el método Egorychev .
Podemos obtener este resultado, usando la fórmula con factoriales ascendentes, de la siguiente manera:
Las funciones de la forma se denominan funciones límite hipergeométricas confluentes y están estrechamente relacionadas con las funciones de Bessel .
La relación es:
La ecuación diferencial para esta función es
o
Cuando a no es un entero positivo, la sustitución
da una solución linealmente independiente
entonces la solución general es
donde k , l son constantes. (Si a es un número entero positivo, la solución independiente viene dada por la función de Bessel apropiada del segundo tipo).
La serie 1 F 1
Las funciones de la forma se denominan funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo , también escritas. La función gamma incompleta es un caso especial.
La ecuación diferencial para esta función es
o
Cuando b no es un número entero positivo, la sustitución
da una solución linealmente independiente
entonces la solución general es
donde k , l son constantes.
Cuando a es un número entero no positivo, - n ,es un polinomio. Hasta factores constantes, estos son los polinomios de Laguerre . Esto implica que los polinomios de Hermite también se pueden expresar en términos de 1 F 1 .
La serie 2 F 0
Esto ocurre en conexión con la función integral exponencial Ei ( z ).
La serie 2 F 1
Históricamente, las más importantes son las funciones de la forma . A veces se denominan funciones hipergeométricas de Gauss, funciones hipergeométricas estándar clásicas o, a menudo, simplemente funciones hipergeométricas. El término función hipergeométrica generalizada se utiliza para las funciones p F q si existe riesgo de confusión. Esta función fue estudiada en detalle por primera vez por Carl Friedrich Gauss , quien exploró las condiciones para su convergencia.
La ecuación diferencial para esta función es
o
Se conoce como ecuación diferencial hipergeométrica . Cuando c no es un entero positivo, la sustitución
da una solución linealmente independiente
entonces la solución general para | z | <1 es
donde k , l son constantes. Se pueden derivar diferentes soluciones para otros valores de z . De hecho, existen 24 soluciones, conocidas como soluciones de Kummer , derivables utilizando varias identidades, válidas en diferentes regiones del plano complejo.
Cuando a es un número entero no positivo, - n ,
es un polinomio. Hasta factores constantes y escalado, estos son los polinomios de Jacobi . Varias otras clases de polinomios ortogonales, hasta factores constantes, son casos especiales de polinomios de Jacobi, por lo que también se pueden expresar usando 2 F 1 . Esto incluye polinomios de Legendre y polinomios de Chebyshev .
Se puede expresar una amplia gama de integrales de funciones elementales utilizando la función hipergeométrica, por ejemplo:
La serie 3 F 0
Esto ocurre en conexión con los polinomios de Mott . [5]
La serie 3 F 1
Esto ocurre en la teoría de las funciones de Bessel. Proporciona una forma de calcular funciones de Bessel de argumentos grandes.
Dilogaritmo
es el dilogaritmo [6]
Polinomios de Hahn
es un polinomio de Hahn .
Polinomios de Wilson
es un polinomio de Wilson .
Generalizaciones
La función hipergeométrica generalizada está vinculada a la función G Meijer y el E-función MacRobert . Las series hipergeométricas se generalizaron a varias variables, por ejemplo, por Paul Emile Appell y Joseph Kampé de Fériet ; pero una teoría general comparable tardó en surgir. Se encontraron muchas identidades, algunas bastante notables. Eduard Heine dio una generalización, los análogos de la serie q , denominados series hipergeométricas básicas , a finales del siglo XIX. Aquí, las razones consideradas de términos sucesivos, en lugar de una función racional de n , son una función racional de q n . Otra generalización, la serie hipergeométrica elíptica , son aquellas series donde la razón de términos es una función elíptica (una función meromórfica doblemente periódica ) de n .
Durante el siglo XX, esta fue un área fructífera de la matemática combinatoria, con numerosas conexiones con otros campos. Hay una serie de nuevas definiciones de funciones hipergeométricas generales , por Aomoto, Israel Gelfand y otros; y aplicaciones, por ejemplo, a la combinatoria de organizar una serie de hiperplanos en un N- espacio complejo (ver disposición de hiperplanos ).
Las funciones hipergeométricas especiales ocurren como funciones esféricas zonales en espacios simétricos de Riemann y grupos de Lie semi-simples . Su importancia y papel se puede entender a través del siguiente ejemplo: la serie hipergeométrica 2 F 1 tiene los polinomios de Legendre como caso especial, y cuando se consideran en forma de armónicos esféricos , estos polinomios reflejan, en cierto sentido, las propiedades de simetría las dos esferas o, de manera equivalente, las rotaciones dadas por el grupo de Lie SO (3) . En las descomposiciones de producto tensorial de representaciones concretas de este grupo se cumplen los coeficientes de Clebsch-Gordan , que pueden escribirse como series hipergeométricas de 3 F 2 .
Las series hipergeométricas bilaterales son una generalización de funciones hipergeométricas donde se suman todos los números enteros, no solo los positivos.
Las funciones de Fox-Wright son una generalización de funciones hipergeométricas generalizadas donde los símbolos de Pochhammer en la expresión de la serie se generalizan a funciones gamma de expresiones lineales en el índice n .
Notas
^ Prudnikov, AP; Brychkov, Yu. A.; Marichev, OI (1990). Integrales y series Volumen 3: Más funciones especiales . Gordon y Breach. pag. 439.
↑ ( Slater 1966 , Ecuación (4.1.2))
^ Ver ( Slater 1966 , Sección 2.3.1) o ( Bailey 1935 , Sección 2.2) para una prueba.
^ Ver ( Bailey 1935 , Sección 3.1) para una prueba detallada. Una prueba alternativa está en ( Slater 1966 , Sección 2.3.3)
^ Ver Erdélyi et al. 1955.
^Candan, Cagatay. "Una prueba simple de F (1,1,1; 2,2; x) = dilog (1-x) / x" (PDF) .
Referencias
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enlaces externos
El libro "A = B" , este libro se puede descargar gratuitamente de Internet.
MathWorld
Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica generalizada" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Función hipergeométrica confluente del primer tipo" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Función límite hipergeométrica confluente" . MathWorld .