II25,1

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En matemáticas, II _25,1 es la retícula unimodular de Lorentzian de 26 dimensiones pares . Tiene varias propiedades inusuales, que surgen del descubrimiento de Conway de que tiene un vector Weyl de norma cero . En particular, está estrechamente relacionado con la red Leech Λ, y tiene el grupo Co1 de Conway en la parte superior de su grupo de automorfismo.

Escriba R ^{m, n} para el espacio vectorial dimensional m + n R ^{m + n} con el producto interno de ( a ₁ , ..., a _{m + n} ) y ( b ₁ , ..., b _{m + n} ) dado por

El enrejado II _25,1 está dado por todos los vectores ( a ₁ , ..., a ₂₆ ) en R ^25,1 tales que o todos los a _i son enteros o todos son enteros más 1/2, y su suma es incluso.

y los dos sumandos son ortogonales. Entonces podemos escribir vectores de II _25,1 como (λ, m , n ) = λ + mz + nw con λ en Λ y m , n enteros, donde (λ, m , n ) tiene la norma λ ² –2 mn . Para dar explícitamente el isomorfismo, sea , y , de modo que el subespacio generado por y sea ​​el retículo de Lorentzian par bidimensional. Entonces es isomorfo ay recuperamos una de las definiciones de Λ.${\ Displaystyle w = (0,1,2,3, \ dots, 22,23,24; 70)}$${\ displaystyle z = (1, 0, 2, 3, \ puntos, 22, 23, 24; 70)}$${\ Displaystyle H}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle H^{\perp }}$${\displaystyle w^{\perp }/w}$

Conway demostró que las raíces (vectores de norma 2) que tienen un producto interno –1 con w = (0,0,1) son las raíces simples del grupo de reflexión. Estos son los vectores (λ, 1, λ ² / 2–1) para λ en la red Leech. En otras palabras, las raíces simples se pueden identificar con los puntos de la celosía Leech y, además, esta es una isometría del conjunto de raíces simples a la celosía Leech.

El grupo de reflexión es un grupo de reflexión hiperbólico que actúa sobre un espacio hiperbólico de 25 dimensiones. El dominio fundamental del grupo de reflexión tiene 1 + 23 + 284 órbitas de vértices de la siguiente manera:

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