Fórmula de carácter de Weyl

En matemáticas , la fórmula de caracteres de Weyl en la teoría de la representación describe los caracteres de representaciones irreductibles de grupos de Lie compactos en términos de sus pesos más altos . ^[1] Se demostró por Hermann Weyl ( 1925 , 1926a , 1926b ). Existe una fórmula estrechamente relacionada para el carácter de una representación irreductible de un álgebra de Lie semisimple. ^[2] En el enfoque de Weyl a la teoría de la representación de grupos de Lie compactos conectados, la prueba de la fórmula del carácter es un paso clave para demostrar que cada elemento integral dominante surge realmente como el peso más alto de alguna representación irreductible. ^[3] Consecuencias importantes de la fórmula del carácter son la fórmula de dimensión de Weyl y la fórmula de multiplicidad de Kostant .

Por definición, el carácter de una representación de G es el rastro de , en función de un elemento de grupo . Las representaciones irreductibles en este caso son todas de dimensión finita (esto es parte del teorema de Peter-Weyl ); por lo que la noción de traza es la habitual del álgebra lineal. El conocimiento del carácter de da mucha información sobre sí mismo. ${\ Displaystyle \ chi}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle \ pi (g)}$ ${\ Displaystyle g \ in G}$ ${\ Displaystyle \ chi}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle \ pi}$

La fórmula de Weyl es una fórmula cerrada para el personaje , en términos de otros objetos construidos a partir de G y su álgebra de Lie . ${\ Displaystyle \ chi}$

La fórmula del carácter puede expresarse en términos de representaciones de álgebras de Lie complejas semisimples o en términos de la teoría de representación (esencialmente equivalente) de grupos de Lie compactos.

Sea una representación irreductible de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple compleja . Supongamos que es una subálgebra de Cartan de . El carácter de es entonces la función definida por ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle \ pi}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {ch} _ {\ pi}: {\ mathfrak {h}} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

El valor del carácter en es la dimensión de . Por consideraciones elementales, el carácter puede calcularse como ${\ Displaystyle H = 0}$ ${\ Displaystyle \ pi}$