En análisis numérico y computación científica , el método de Euler hacia atrás (o método de Euler implícito ) es uno de los métodos numéricos más básicos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias . Es similar al método de Euler (estándar) , pero se diferencia en que es un método implícito . El método de Euler hacia atrás tiene un error de orden uno en el tiempo.
Descripción
Considere la ecuación diferencial ordinaria
con valor inicial Aquí la función y los datos iniciales y son conocidos; la función depende de la variable real y se desconoce. Un método numérico produce una secuencia tal que aproxima , dónde se llama el tamaño del paso.
El método de Euler hacia atrás calcula las aproximaciones usando
Esto difiere del método de Euler (directo) en que el método directo utiliza en lugar de .
El método de Euler hacia atrás es un método implícito: la nueva aproximación aparece en ambos lados de la ecuación y, por lo tanto, el método necesita resolver una ecuación algebraica para la incógnita . Para problemas no rígidos , esto se puede hacer con iteración de punto fijo :
Si esta secuencia converge (dentro de una tolerancia dada), entonces el método toma su límite como la nueva aproximación . [2]
Alternativamente, se puede usar (alguna modificación de) el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación algebraica.
Derivación
Integrando la ecuación diferencial de a rendimientos
Ahora aproxima la integral de la derecha mediante el método del rectángulo de la derecha (con un rectángulo):
Finalmente, usa eso se supone que se aproxima y sigue la fórmula para el método de Euler hacia atrás. [3]
El mismo razonamiento conduce al método de Euler (estándar) si se usa la regla del rectángulo de la izquierda en lugar de la de la derecha.
Análisis
El método de Euler hacia atrás tiene el orden uno. Esto significa que el error de truncamiento local (definido como el error cometido en un paso) es, usando la notación O grande . El error en un momento específico es .
La región de estabilidad absoluta para el método de Euler hacia atrás es el complemento en el plano complejo del disco con radio 1 centrado en 1, representado en la figura. [4] Esto incluye toda la mitad izquierda del plano complejo, lo que lo hace adecuado para la solución de ecuaciones rígidas . [5] De hecho, el método de Euler hacia atrás es incluso L-estable .
La región para un sistema estable discreto por el método de Euler hacia atrás es un círculo con radio 0.5 que está ubicado en (0.5, 0) en el plano z. [6]
Extensiones y modificaciones
El método de Euler hacia atrás es una variante del método de Euler (hacia adelante) . Otras variantes son el método de Euler semi-implícito y el método de Euler exponencial .
El método de Euler hacia atrás puede verse como un método de Runge-Kutta con una etapa, descrito por el cuadro de Butcher:
El método de Euler hacia atrás también puede verse como un método lineal de varios pasos con un solo paso. Es el primer método de la familia de métodos de Adams-Moulton , y también de la familia de fórmulas de diferenciación hacia atrás .
Ver también
Notas
- ^ Carnicero 2003 , p. 57
- ^ Carnicero 2003 , p. 57
- ^ Carnicero 2003 , p. 57
- ^ Carnicero 2003 , p. 70
- ^ Carnicero 2003 , p. 71
- ^ Wai-Kai Chen, Ed., Circuitos analógicos y VLSI El manual de circuitos y filtros, 3ª ed. Chicago, Estados Unidos: CRC Press, 2009.
Referencias
- Butcher, John C. (2003), Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-96758-3.