Deformaciones incrementales

En mecánica de sólidos , el análisis de estabilidad lineal de una solución elástica se estudia mediante el método de deformaciones incrementales superpuestas a deformaciones finitas . ^[1] El método de deformación incremental se puede utilizar para resolver problemas estáticos, ^[2] cuasiestáticos ^[3] y dependientes del tiempo. ^[4] Las ecuaciones que gobiernan el movimiento son las de la mecánica clásica , como la conservación de la masa y el equilibrio del momento lineal y angular , que proporcionan la configuración de equilibrio del material. ^[5]El principal marco matemático correspondiente se describe en el libro principal de Raymond Ogden Non-linear elastic deformations ^[1] y en el libro de Biot Mechanics of incremental deformations ^[6], que es una colección de sus principales artículos.

Sea un espacio euclidiano tridimensional . Sean dos regiones ocupadas por el material en dos instantes de tiempo diferentes. Sea la deformación que transforma el tejido de , es decir, la configuración de material/referencia , a la configuración cargada , es decir, la configuración actual . Sea un -difeomorfismo ^[7] de a , siendo el vector de posición actual, dado en función de la posición material . El gradiente de deformación ^[5] viene dado por${\displaystyle {\mathcal {E}}\en \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}}$${\ estilo de visualización {\ bf {\ chi}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}}$${\ estilo de visualización \ chi}$${\ estilo de visualización C^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{a}}$${\ estilo de visualización {\ bf {x}} = {\ bf {\ chi}} ({\ bf {X}})}$${\ estilo de visualización {\ bf {X}}}$

Esquema de la deformación incremental

Resultado del análisis de estabilidad lineal.