Aritmética de intervalos

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Función de tolerancia (turquesa) y aproximación de valores de intervalo (rojo)

La aritmética de intervalos (también conocida como matemáticas de intervalos , análisis de intervalos o cálculo de intervalos ) es una técnica matemática que se utiliza para poner límites a los errores de redondeo y los errores de medición en el cálculo matemático . Los métodos numéricos que utilizan aritmética de intervalos pueden garantizar resultados fiables y matemáticamente correctos. En lugar de representar un valor como un número único, la aritmética de intervalo representa cada valor como un rango de posibilidades. Por ejemplo, en lugar de estimar la altura de alguien exactamente como 2,0 metros, utilizando aritmética de intervalos, uno podría estar seguro de que esa persona está entre 1,97 y 2,03 metros.

Matemáticamente, en lugar de trabajar con un real incierto , se trabaja con los extremos de un intervalo que contiene . En aritmética de intervalos, cualquier variable se encuentra en el intervalo cerrado entre y . Una función , cuando se aplica a , produce un resultado incierto; produce un intervalo que incluye todos los valores posibles para para todos .${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [c,d]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in [a,b]}$

La aritmética de intervalos es adecuada para una variedad de propósitos. El uso más común es en software, para realizar un seguimiento de los errores de redondeo en los cálculos y de las incertidumbres en el conocimiento de los valores exactos de los parámetros físicos y técnicos. Estos últimos a menudo surgen de errores de medición y tolerancias de componentes o debido a límites en la precisión computacional. La aritmética de intervalos también ayuda a encontrar soluciones garantizadas para ecuaciones (como ecuaciones diferenciales ) y problemas de optimización .

Introducción

El objetivo principal de la aritmética de intervalos es una forma sencilla de calcular los límites superior e inferior para el rango de una función en una o más variables. Estos criterios de valoración no son necesariamente los verdaderos supremum o infimum , ya que el cálculo preciso de esos valores puede ser difícil o imposible; los límites solo necesitan contener el rango de la función como un subconjunto.

Este tratamiento se limita típicamente a intervalos reales, por lo que cantidades de forma

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\},}$

donde y están permitidos. Con uno de , infinito, el intervalo sería un intervalo ilimitado; con ambos infinitos, el intervalo sería la recta numérica real extendida. Dado que un número real se puede interpretar como los intervalos de intervalo, los números reales se pueden combinar libremente.${\displaystyle a={-\infty }}$${\displaystyle b={\infty }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle r}$${\displaystyle [r,r],}$

Al igual que con los cálculos tradicionales con números reales, primero se deben definir operaciones aritméticas simples y funciones en intervalos elementales. ^[1] Se pueden calcular funciones más complicadas a partir de estos elementos básicos. ^[1]

Ejemplo

Índice de masa corporal para una persona de 1,80 m de altura en relación con el peso corporal m (en kilogramos)

Como ejemplo, considere el cálculo del índice de masa corporal (IMC) y la evaluación de si una persona tiene sobrepeso. El IMC se calcula como el peso corporal de una persona en kilogramos dividido por el cuadrado de su altura en metros. Una báscula de baño puede tener una resolución de un kilogramo. Los valores intermedios no se pueden discernir (79,6 kg y 80,3 kg son indistinguibles, por ejemplo) pero el peso real se redondea al número entero más cercano. Es poco probable que cuando la báscula marque 80 kg, la persona pese exactamente 80,0 kg. En el redondeo normal al valor más cercano, la balanza que muestra 80 kg indica un peso entre 79,5 kg y 80,5 kg. Esto se corresponde con el intervalo .${\displaystyle [79.5,80.5]}$

Para un hombre que pesa 80 kg y mide 1,80 m de altura, el IMC es de aproximadamente 24,7. Un peso de 79,5 kg y la misma altura rinde aprox. 24.537, mientras que un peso de 80,5 kg rinde aprox. 24.846. Dado que la función aumenta monótonamente, llegamos a la conclusión de que el verdadero IMC está en el rango . Dado que todo el rango es inferior a 25, que es el límite entre el peso normal y el excesivo, concluimos que el hombre tiene un peso normal.${\displaystyle [24.537,24.846]}$

El error en este caso no afecta la conclusión (peso normal), pero no siempre es así. Si el hombre pesaba un poco más, el rango del IMC puede incluir el valor de corte de 25. En ese caso, la precisión de la escala fue insuficiente para llegar a una conclusión definitiva.

Además, tenga en cuenta que el rango de ejemplos de IMC se podría informar como , ya que este intervalo es un superconjunto del intervalo calculado. Sin embargo, el rango no se pudo informar como , ya que ahora el intervalo no contiene posibles valores de IMC.${\displaystyle [24.5,24.9]}$${\displaystyle [24.6,24.8]}$

La aritmética de intervalos establece explícitamente el rango de posibles resultados. Los resultados ya no se expresan como números, sino como intervalos que representan valores imprecisos. El tamaño de los intervalos es similar a las barras de error al expresar el grado de incertidumbre.

Intervalos múltiples

Índice de masa corporal para diferentes pesos en relación con la altura L (en metros)

Tanto la altura como el peso corporal afectan el valor del IMC. Ya hemos tratado el peso como una medida incierta, pero la altura también está sujeta a incertidumbre. Las medidas de altura en metros generalmente se redondean al centímetro más cercano: una medida registrada de 1,79 metros en realidad significa una altura en el intervalo . Ahora, se deben considerar las cuatro combinaciones de posibles valores de altura / peso. Utilizando los métodos de intervalo que se describen a continuación, el IMC se encuentra en el intervalo${\displaystyle [1.785,1.795]}$

${\displaystyle {\frac {[79.5,80.5]}{[1.785,1.795]^{2}}}\subseteq [24.673,25.266].}$

En este caso, el hombre puede tener un peso normal o tener sobrepeso; las medidas de peso y estatura no eran lo suficientemente precisas para llegar a una conclusión definitiva. Esto demuestra la capacidad de la aritmética de intervalos para rastrear y propagar correctamente el error.

Operadores de intervalo

Una operación binaria en dos intervalos, como la suma o la multiplicación, se define por${\displaystyle \star }$

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]{\,\star \,}[y_{1},y_{2}]=\{x\star y\,|\,x\in [x_{1},x_{2}]\,\land \,y\in [y_{1},y_{2}]\}.}$

En otras palabras, es el conjunto de todos los valores posibles de , donde y están en sus intervalos correspondientes. Si es monótono en cada operando en los intervalos, que es el caso de las cuatro operaciones aritméticas básicas (excepto la división cuando el denominador contiene ), los valores extremos ocurren en los puntos finales de los intervalos del operando. Escribiendo todas las combinaciones, una forma de decirlo es${\displaystyle x\star y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \star }$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\star [y_{1},y_{2}]=\left[\min\{x_{1}\star y_{1},x_{1}\star y_{2},x_{2}\star y_{1},x_{2}\star y_{2}\},\max\{x_{1}\star y_{1},x_{1}\star y_{2},x_{2}\star y_{1},x_{2}\star y_{2}\}\right],}$

siempre que se defina para todos y .${\displaystyle x\star y}$${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y\in [y_{1},y_{2}]}$

Para aplicaciones prácticas, esto se puede simplificar aún más:

• Adición :${\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}]}$
• Resta :${\displaystyle [x_{1},x_{2}]-[y_{1},y_{2}]=[x_{1}-y_{2},x_{2}-y_{1}]}$
• Multiplicación :${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[\min\{x_{1}y_{1},x_{1}y_{2},x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}\},\max\{x_{1}y_{1},x_{1}y_{2},x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}\}]}$
• División :

${\displaystyle {\frac {[x_{1},x_{2}]}{[y_{1},y_{2}]}}=[x_{1},x_{2}]\cdot {\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}},}$

donde

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}}&=\left[{\tfrac {1}{y_{2}}},{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]&&\mathrm {if} \;0\notin [y_{1},y_{2}]\\{\frac {1}{[y_{1},0]}}&=\left[-\infty ,{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]\\{\frac {1}{[0,y_{2}]}}&=\left[{\tfrac {1}{y_{2}}},\infty \right]\\{\frac {1}{[y_{1},y_{2}]}}&=\left[-\infty ,{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]\cup \left[{\tfrac {1}{y_{2}}},\infty \right]\subseteq [-\infty ,\infty ]&&\mathrm {if} \;0\in (y_{1},y_{2})\end{aligned}}}$

El último caso pierde información útil sobre la exclusión de . Por lo tanto, es común trabajar con y como intervalos separados. De manera más general, cuando se trabaja con funciones discontinuas, a veces es útil hacer el cálculo con los llamados multiintervalos de la forma La correspondiente aritmética de múltiples intervalos mantiene un conjunto de intervalos (generalmente disjuntos) y también proporciona intervalos superpuestos para unir . ^[2]${\displaystyle (1/y_{1},1/y_{2})}$${\displaystyle \left[-\infty ,{\tfrac {1}{y_{1}}}\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{y_{2}}},\infty \right]}$${\textstyle \bigcup _{i}\left[a_{i},b_{i}\right].}$

Multiplicación de intervalos positivos

La multiplicación por intervalos a menudo solo requiere dos multiplicaciones. Si , no son negativos,${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}\cdot y_{1},x_{2}\cdot y_{2}],\qquad {\text{ if }}x_{1},y_{1}\geq 0.}$

La multiplicación se puede interpretar como el área de un rectángulo con bordes variables. El intervalo de resultados cubre todas las áreas posibles, desde la más pequeña hasta la más grande.

Con la ayuda de estas definiciones, ya es posible calcular el rango de funciones simples, como por ejemplo, si , y :${\displaystyle f(a,b,x)=a\cdot x+b.}$${\displaystyle a=[1,2]}$${\displaystyle b=[5,7]}$${\displaystyle x=[2,3]}$

${\displaystyle f(a,b,x)=([1,2]\cdot [2,3])+[5,7]=[1\cdot 2,2\cdot 3]+[5,7]=[7,13]}$.

Notación

Para reducir la notación de intervalos en fórmulas, se pueden utilizar corchetes.

${\displaystyle [x]\equiv [x_{1},x_{2}]}$se puede utilizar para representar un intervalo. Tenga en cuenta que en una notación tan compacta, no debe confundirse entre un intervalo de un solo punto y un intervalo general. Para el conjunto de todos los intervalos, podemos usar${\displaystyle [x]}$${\displaystyle [x_{1},x_{1}]}$

${\displaystyle [\mathbb {R} ]:=\left\{\,[x_{1},x_{2}]\,|\,x_{1}\leq x_{2}{\text{ and }}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\right\}}$

como abreviatura. Para un vector de intervalos podemos utilizar un tipo de letra negrita: .${\displaystyle \left([x]_{1},\ldots ,[x]_{n}\right)\in [\mathbb {R} ]^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$

Funciones elementales

Valores de una función monótona

También se pueden definir funciones de intervalo más allá de los cuatro operadores básicos.

Para funciones monótonas en una variable, el rango de valores es fácil de calcular. Si es monótonamente creciente (resp. Decreciente) en el intervalo, entonces para todos los que (resp. ).${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle [x_{1},x_{2}],}$${\displaystyle y_{1},y_{2}\in [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle y_{1}\leq y_{2},}$ ${\displaystyle f(y_{1})<f(y_{2})}$${\displaystyle f(y_{2})<f(y_{1})}$

Por lo tanto, el rango correspondiente al intervalo se puede calcular aplicando la función a sus puntos finales:${\displaystyle [y_{1},y_{2}]\subseteq [x_{1},x_{2}]}$

${\displaystyle f([y_{1},y_{2}])=\left[\min \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\},\max \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\}\right].}$

A partir de esto, se pueden definir fácilmente las siguientes características básicas para las funciones de intervalo:

• Función exponencial : para${\displaystyle a^{[x_{1},x_{2}]}=[a^{x_{1}},a^{x_{2}}]}$${\displaystyle a>1,}$
• Logaritmo : para intervalos positivos y${\displaystyle \log _{a}[x_{1},x_{2}]=[\log _{a}{x_{1}},\log _{a}{x_{2}}]}$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle a>1,}$
• Poderes impares:, por impares${\displaystyle [x_{1},x_{2}]^{n}=[x_{1}^{n},x_{2}^{n}]}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Para potencias pares, el rango de valores que se está considerando es importante y debe tratarse antes de hacer cualquier multiplicación. Por ejemplo, para debería producir el intervalo cuando Pero si se toma repitiendo la multiplicación de intervalos de forma , el resultado es más amplio de lo necesario.${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x\in [-1,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle n=2,4,6,\ldots .}$${\displaystyle [-1,1]^{n}}$${\displaystyle [-1,1]\cdot [-1,1]\cdot \cdots \cdot [-1,1]}$${\displaystyle [-1,1],}$

De manera más general, se puede decir que, para funciones monotónicas por partes, es suficiente considerar los puntos finales , de un intervalo, junto con los llamados puntos críticos dentro del intervalo, que son aquellos puntos donde la monotonicidad de la función cambia de dirección. Para las funciones seno y coseno , los puntos críticos están en o para , respectivamente. Por lo tanto, solo se deben considerar hasta cinco puntos dentro de un intervalo, ya que el intervalo resultante es si el intervalo incluye al menos dos extremos. Para el seno y el coseno, solo los puntos finales necesitan una evaluación completa, ya que los puntos críticos conducen a valores fácilmente precalculados, a saber, -1, 0 y 1.${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\pi }$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle [-1,1]}$

Extensiones de intervalo de funciones generales

En general, puede que no sea fácil encontrar una descripción tan simple del intervalo de salida para muchas funciones. Pero aún puede ser posible extender funciones a la aritmética de intervalos. Si es una función de un vector real a un número real, entonces   se llama una extensión de intervalo de si${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle [f]:[\mathbb {R} ]^{n}\rightarrow [\mathbb {R} ]}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \{f(\mathbf {y} )|\mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]\}}$.

Esta definición de la extensión del intervalo no da un resultado preciso. Por ejemplo, ambos y son extensiones permitidas de la función exponencial. Son deseables extensiones más estrictas, aunque deben tenerse en cuenta los costos relativos de cálculo y la imprecisión; en este caso, debe elegirse ya que da el resultado más ajustado posible.${\displaystyle [f]([x_{1},x_{2}])=[e^{x_{1}},e^{x_{2}}]}$${\displaystyle [g]([x_{1},x_{2}])=[{-\infty },{\infty }]}$${\displaystyle [f]}$

Dada una expresión real, su extensión de intervalo natural se logra utilizando las extensiones de intervalo de cada una de sus subexpresiones, funciones y operadores.

La extensión del intervalo de Taylor (de grado ) es una función diferenciable en tiempo definida por${\displaystyle k}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ]):=f(\mathbf {y} )+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i!}}\mathrm {D} ^{i}f(\mathbf {y} )\cdot ([\mathbf {x} ]-\mathbf {y} )^{i}+[r]([\mathbf {x} ],[\mathbf {x} ],\mathbf {y} )}$,

para algunos , donde es el diferencial de orden de en el punto y es una extensión de intervalo del resto de Taylor${\displaystyle \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathrm {D} ^{i}f(\mathbf {y} )}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle [r]}$

${\displaystyle r(\mathbf {x} ,\xi ,\mathbf {y} )={\frac {1}{(k+1)!}}\mathrm {D} ^{k+1}f(\xi )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{k+1}.}$

Forma de valor medio

El vector se encuentra entre y con , está protegido por . Por lo general, uno elige ser el punto medio del intervalo y usa la extensión del intervalo natural para evaluar el resto.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {y} }$

El caso especial de la extensión de grado del intervalo de Taylor también se conoce como la forma del valor medio .${\displaystyle k=0}$

Aritmética de intervalos complejos

Un intervalo también puede definirse como un lugar geométrico de puntos a una distancia determinada del centro, ^{[ aclaración necesaria ]} y esta definición puede extenderse de números reales a números complejos . ^[3] Como es el caso de la computación con números reales, la computación con números complejos implica datos inciertos. Entonces, dado el hecho de que un número de intervalo es un intervalo cerrado real y un número complejo es un par ordenado de números reales , no hay razón para limitar la aplicación de la aritmética de intervalos a la medida de incertidumbres en cálculos con números reales. ^[4]Por tanto, la aritmética de intervalos se puede ampliar, mediante números de intervalo complejos, para determinar regiones de incertidumbre en la computación con números complejos. ^[4]

Las operaciones algebraicas básicas para números de intervalo real (intervalos cerrados reales) pueden extenderse a números complejos. Por lo tanto, no es sorprendente que la aritmética compleja de intervalos sea similar, pero no igual que, la aritmética compleja ordinaria. ^[4] Se puede demostrar que, como es el caso de la aritmética de intervalo real, no hay distributividad entre la suma y la multiplicación de números de intervalo complejos excepto en ciertos casos especiales, y los elementos inversos no siempre existen para números de intervalo complejos. ^[4] Otras dos propiedades útiles de la aritmética compleja ordinaria no se cumplen en la aritmética de intervalos complejos: las propiedades aditivas y multiplicativas de los conjugados complejos ordinarios no se cumplen para los conjugados de intervalos complejos. ^[4]

La aritmética de intervalos se puede extender, de manera análoga, a otros sistemas numéricos multidimensionales como los cuaterniones y octoniones , pero con el costo de sacrificar otras propiedades útiles de la aritmética ordinaria. ^[4]

Métodos de intervalo

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Los métodos de análisis numérico clásico no se pueden transferir uno a uno en algoritmos de valores de intervalo, ya que las dependencias entre valores numéricos generalmente no se tienen en cuenta.

Aritmética de intervalo redondeado

Límites exteriores en diferentes niveles de redondeo

Para trabajar eficazmente en una implementación de la vida real, los intervalos deben ser compatibles con la computación de punto flotante. Las operaciones anteriores se basaban en aritmética exacta, pero, en general, es posible que no se disponga de métodos de solución numérica rápida. El rango de valores de la función para y son, por ejemplo . Cuando se realiza el mismo cálculo con precisión de un solo dígito, el resultado normalmente sería . Pero , por lo que este enfoque contradeciría los principios básicos de la aritmética de intervalos, ya que se perdería una parte del dominio de . En cambio, se usa la solución redondeada hacia afuera .${\displaystyle f(x,y)=x+y}$${\displaystyle x\in [0.1,0.8]}$${\displaystyle y\in [0.06,0.08]}$${\displaystyle [0.16,0.88]}$${\displaystyle [0.2,0.9]}$${\displaystyle [0.2,0.9]\not \supseteq [0.16,0.88]}$${\displaystyle f([0.1,0.8],[0.06,0.08])}$${\displaystyle [0.1,0.9]}$

El estándar IEEE 754 para aritmética de coma flotante binaria también establece procedimientos para la implementación del redondeo. Un sistema compatible con IEEE 754 permite a los programadores redondear al número de punto flotante más cercano; las alternativas son el redondeo hacia 0 (truncado), el redondeo hacia el infinito positivo (es decir, hacia arriba) o el redondeo hacia el infinito negativo (es decir, hacia abajo).

El redondeo externo requerido para la aritmética de intervalos se puede lograr cambiando la configuración de redondeo del procesador en el cálculo del límite superior (hacia arriba) y el límite inferior (hacia abajo). Alternativamente, se puede agregar un pequeño intervalo apropiado .${\displaystyle [\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}]}$

Problema de dependencia

Estimación aproximada del rango de valores

El llamado problema de la dependencia es un obstáculo importante para la aplicación de la aritmética de intervalos. Aunque los métodos de intervalo pueden determinar el rango de operaciones y funciones aritméticas elementales con mucha precisión, esto no siempre es cierto con funciones más complicadas. Si un intervalo ocurre varias veces en un cálculo usando parámetros, y cada ocurrencia se toma de forma independiente, esto puede conducir a una expansión no deseada de los intervalos resultantes.

Tratar cada aparición de una variable de forma independiente

Como ilustración, tome la función definida por Los valores de esta función sobre el intervalo son Como la extensión del intervalo natural, se calcula como:${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+x.}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{4}},2\right].}$

${\displaystyle [-1,1]^{2}+[-1,1]=[0,1]+[-1,1]=[-1,2],}$

que es un poco más grande; en cambio, hemos calculado el mínimo y el superior de la función sobre Hay una mejor expresión de en la que la variable solo aparece una vez, es decir, reescribiendo como suma y elevando al cuadrado en la cuadrática${\displaystyle h(x,y)=x^{2}+y}$${\displaystyle x,y\in [-1,1].}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+x}$

${\displaystyle f(x)=\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}.}$

Entonces, el cálculo de intervalo adecuado es

${\displaystyle \left([-1,1]+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}=\left[-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right]^{2}-{\frac {1}{4}}=\left[0,{\frac {9}{4}}\right]-{\frac {1}{4}}=\left[-{\frac {1}{4}},2\right]}$

y da los valores correctos.

En general, se puede demostrar que se puede alcanzar el rango exacto de valores, si cada variable aparece solo una vez y si es continua dentro del cuadro. Sin embargo, no todas las funciones se pueden reescribir de esta manera.${\displaystyle f}$

Efecto de envoltura

La dependencia del problema que provoca una sobreestimación del rango de valores puede llegar hasta cubrir un rango grande, impidiendo conclusiones más significativas.

Un aumento adicional en el rango proviene de la solución de áreas que no toman la forma de un vector de intervalo. El conjunto de soluciones del sistema lineal

${\displaystyle {\begin{cases}x=p\\y=p\end{cases}}\qquad p\in [-1,1]}$

es precisamente la línea entre los puntos y el uso de métodos de intervalo da como resultado el cuadrado unitario. Esto se conoce como efecto de envoltura .${\displaystyle (-1,-1)}$${\displaystyle (1,1).}$${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1].}$

Sistemas de intervalo lineal

Un sistema de intervalo lineal consta de una extensión de intervalo de matriz y un vector de intervalo . Queremos que el paralelepípedo más pequeño , para todos los vectores de la cual hay un par con y satisfacer${\displaystyle [\mathbf {A} ]\in [\mathbb {R} ]^{n\times m}}$${\displaystyle [\mathbf {b} ]\in [\mathbb {R} ]^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]\in [\mathbb {R} ]^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle (\mathbf {A} ,\mathbf {b} )}$${\displaystyle \mathbf {A} \in [\mathbf {A} ]}$${\displaystyle \mathbf {b} \in [\mathbf {b} ]}$

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {b} }$.

Para sistemas cuadráticos, en otras palabras, para , puede haber un vector de intervalo de este tipo , que cubra todas las soluciones posibles, que se encuentran simplemente con el método de intervalo de Gauss. Esto reemplaza las operaciones numéricas, en el sentido de que el método de álgebra lineal conocido como eliminación gaussiana se convierte en su versión de intervalo. Sin embargo, dado que este método utiliza las entidades de intervalo y repetidamente en el cálculo, puede producir resultados deficientes para algunos problemas. Por lo tanto, usar el resultado de Gauss con valores de intervalo solo proporciona primeras estimaciones aproximadas, ya que, aunque contiene el conjunto de soluciones completo, también tiene un área grande fuera de él.${\displaystyle n=m}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]}$${\displaystyle [\mathbf {b} ]}$

Una solución aproximada a menudo se puede mejorar con una versión de intervalo del método de Gauss-Seidel . La motivación para esto es que la -ésima fila de la extensión del intervalo de la ecuación lineal${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{[a_{11}]}&\cdots &{[a_{1n}]}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{[a_{n1}]}&\cdots &{[a_{nn}]}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{x_{1}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{[b_{1}]}\\\vdots \\{[b_{n}]}\end{pmatrix}}}$

puede ser determinado por la variable si la división está permitida. Por tanto, es simultáneamente${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle 1/[a_{ii}]}$

${\displaystyle x_{j}\in [x_{j}]}$y .${\displaystyle x_{j}\in {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\not =j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}}}$

Entonces ahora podemos reemplazar por${\displaystyle [x_{j}]}$

${\displaystyle [x_{j}]\cap {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\not =j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}}}$,

y así el vector de cada elemento. Dado que el procedimiento es más eficiente para una matriz diagonalmente dominante , en lugar del sistema , a menudo se puede intentar multiplicarlo por una matriz racional apropiada con la ecuación matricial resultante.${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =[\mathbf {b} ]{\mbox{,}}}$${\displaystyle \mathbf {M} }$

${\displaystyle (\mathbf {M} \cdot [\mathbf {A} ])\cdot \mathbf {x} =\mathbf {M} \cdot [\mathbf {b} ]}$

queda por resolver. Si se elige, por ejemplo, para la matriz central , entonces es la extensión exterior de la matriz de identidad.${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {A} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} \in [\mathbf {A} ]}$${\displaystyle \mathbf {M} \cdot [\mathbf {A} ]}$

Estos métodos solo funcionan bien si los anchos de los intervalos que ocurren son lo suficientemente pequeños. Para intervalos más amplios, puede ser útil utilizar un sistema lineal de intervalo en sistemas lineales equivalentes de números reales finitos (aunque grandes). Si todas las matrices son invertibles, es suficiente considerar todas las combinaciones posibles (superior e inferior) de los puntos finales que ocurren en los intervalos. Los problemas resultantes se pueden resolver utilizando métodos numéricos convencionales. La aritmética de intervalos todavía se usa para determinar errores de redondeo.${\displaystyle \mathbf {A} \in [\mathbf {A} ]}$

Esto solo es adecuado para sistemas de menor dimensión, ya que con una matriz completamente ocupada , las matrices reales deben invertirse, con vectores para el lado derecho. Este enfoque fue desarrollado por Jiri Rohn y aún se está desarrollando. ^[5]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 2^{n^{2}}}$${\displaystyle 2^{n}}$

Método de intervalo de Newton

Reducción del área de búsqueda en el intervalo de paso de Newton en funciones "gruesas"

Una variante de intervalo del método de Newton para encontrar los ceros en un vector de intervalo se puede derivar de la extensión del valor promedio. ^[6] Para un vector desconocido aplicado a , da${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {z} \in [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]}$

${\displaystyle f(\mathbf {z} )\in f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} )}$.

Para un cero , es decir , y por lo tanto debe satisfacer${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle f(z)=0}$

${\displaystyle f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} )=0}$.

Esto es equivalente a . Se puede determinar una estimación externa de mediante métodos lineales.${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} )}$${\displaystyle [J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} ))}$

En cada paso del método de intervalo de Newton, se reemplaza un valor inicial aproximado por y, por lo tanto, el resultado se puede mejorar de forma iterativa. A diferencia de los métodos tradicionales, el método de intervalo se acerca al resultado al contener los ceros. Esto garantiza que el resultado produzca todos ceros en el rango inicial. A la inversa, demuestra que no había ceros de en el rango inicial si un paso de Newton produce el conjunto vacío.${\displaystyle [\mathbf {x} ]\in [\mathbb {R} ]^{n}}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]\cap \left(\mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} )\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$

El método converge en todos los ceros en la región inicial. La división por cero puede llevar a la separación de distintos ceros, aunque la separación puede no ser completa; se puede complementar con el método de bisección .

Como ejemplo, considere la función , el rango inicial y el punto . Luego tenemos y el primer paso de Newton da${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$${\displaystyle [x]=[-2,2]}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle J_{f}(x)=2\,x}$

${\displaystyle [-2,2]\cap \left(0-{\frac {1}{2\cdot [-2,2]}}(0-2)\right)=[-2,2]\cap {\Big (}[{-\infty },{-0.5}]\cup [{0.5},{\infty }]{\Big )}=[{-2},{-0.5}]\cup [{0.5},{2}]}$.

Se utilizan más pasos de Newton por separado en y . Estos convergen en intervalos arbitrariamente pequeños alrededor de y .${\displaystyle x\in [{-2},{-0.5}]}$${\displaystyle [{0.5},{2}]}$${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$${\displaystyle +{\sqrt {2}}}$

El método de Intervalo de Newton también se puede utilizar con funciones gruesas como , que en cualquier caso tendría resultados de intervalo. El resultado luego produce intervalos que contienen .${\displaystyle g(x)=x^{2}-[2,3]}$${\displaystyle \left[-{\sqrt {3}},-{\sqrt {2}}\right]\cup \left[{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right]}$

Bisección y cubiertas

Estimación aproximada (turquesa) y estimaciones mejoradas mediante "picado" (rojo)

Los diversos métodos de intervalo ofrecen resultados conservadores, ya que no se tienen en cuenta las dependencias entre los tamaños de las diferentes extensiones de intervalos. Sin embargo, el problema de la dependencia se vuelve menos significativo para intervalos más estrechos.

Cubriendo un vector de intervalo por cajas más pequeñas para que${\displaystyle [\mathbf {x} ]}$${\displaystyle [\mathbf {x} _{1}],\ldots ,[\mathbf {x} _{k}],}$

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=\bigcup _{i=1}^{k}[\mathbf {x} _{i}],}$

entonces es válido para el rango de valores

${\displaystyle f([\mathbf {x} ])=\bigcup _{i=1}^{k}f([\mathbf {x} _{i}]).}$

Entonces, para las extensiones de intervalo descritas anteriormente, se cumple lo siguiente:

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \bigcup _{i=1}^{k}[f]([\mathbf {x} _{i}]).}$

Dado que a menudo es un superconjunto genuino del lado derecho, esto generalmente conduce a una estimación mejorada.${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])}$

Una cobertura de este tipo se puede generar mediante el método de bisección , como elementos gruesos del vector de intervalo dividiendo en el centro en los dos intervalos y, si el resultado aún no es adecuado, es posible una subdivisión gradual adicional. Una cobertura de intervalos resulta de divisiones de elementos vectoriales, lo que aumenta sustancialmente los costos de cálculo.${\displaystyle [x_{i1},x_{i2}]}$${\displaystyle [\mathbf {x} ]=([x_{11},x_{12}],\ldots ,[x_{n1},x_{n2}])}$${\displaystyle \left[x_{i1},{\tfrac {1}{2}}(x_{i1}+x_{i2})\right]}$${\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(x_{i1}+x_{i2}),x_{i2}\right].}$${\displaystyle 2^{r}}$${\displaystyle r}$

Con intervalos muy amplios, puede ser útil dividir todos los intervalos en varios subintervalos con un ancho constante (y más pequeño), un método conocido como picado . Esto entonces evita los cálculos para pasos de bisección intermedios. Ambos métodos solo son adecuados para problemas de baja dimensión.

Solicitud

La aritmética de intervalos se puede utilizar en varias áreas (como inversión de conjuntos , planificación de movimiento , estimación de conjuntos o análisis de estabilidad) para tratar estimaciones sin un valor numérico exacto. ^[7]

Análisis de error de redondeo

La aritmética de intervalos se utiliza con el análisis de errores para controlar los errores de redondeo que surgen de cada cálculo. La ventaja de la aritmética de intervalos es que después de cada operación hay un intervalo que incluye de manera confiable el resultado verdadero. La distancia entre los límites del intervalo proporciona el cálculo actual de los errores de redondeo directamente:

Error = para un intervalo dado .${\displaystyle \mathrm {abs} (a-b)}$${\displaystyle [a,b]}$

El análisis de intervalos se suma a los métodos tradicionales de reducción de errores en lugar de sustituirlos, como el pivote .

Análisis de tolerancia

Los parámetros para los que no se pueden asignar cifras exactas surgen a menudo durante la simulación de procesos técnicos y físicos. El proceso de producción de componentes técnicos permite ciertas tolerancias, por lo que algunos parámetros fluctúan dentro de intervalos. Además, muchas constantes fundamentales no se conocen con precisión. ^[2]

Si el comportamiento de tal sistema afectado por tolerancias satisface, por ejemplo , para y desconocido, entonces el conjunto de posibles soluciones${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=0}$${\displaystyle \mathbf {p} \in [\mathbf {p} ]}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \,|\,\exists \mathbf {p} \in [\mathbf {p} ],f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=0\}}$,

se puede encontrar mediante métodos de intervalo. Esto proporciona una alternativa a la propagación tradicional del análisis de errores . A diferencia de los métodos puntuales, como la simulación de Monte Carlo , la metodología aritmética de intervalos garantiza que no se pueda pasar por alto ninguna parte del área de la solución. Sin embargo, el resultado es siempre un análisis del caso más desfavorable para la distribución del error, ya que no se consideran otras distribuciones basadas en la probabilidad.

Aritmética de intervalo difuso

Aproximación de la distribución normal por una secuencia de intervalos

La aritmética de intervalos también se puede utilizar con funciones de afiliación para cantidades difusas, ya que se utilizan en lógica difusa . Aparte de las declaraciones estrictas y , también son posibles valores intermedios, a los que se asignan números reales . corresponde a una membresía definida mientras no es membresía. Una función de distribución asigna incertidumbre, que puede entenderse como un intervalo adicional.${\displaystyle x\in [x]}$${\displaystyle x\not \in [x]}$${\displaystyle \mu \in [0,1]}$${\displaystyle \mu =1}$${\displaystyle \mu =0}$

Para la aritmética difusa ^[8] sólo se considera un número finito de etapas de afiliación discretas . La forma de tal distribución para un valor indistinto puede entonces representarse por una secuencia de intervalos${\displaystyle \mu _{i}\in [0,1]}$

${\displaystyle \left[x^{(1)}\right]\supset \left[x^{(2)}\right]\supset \cdots \supset \left[x^{(k)}\right].}$

El intervalo corresponde exactamente al rango de fluctuación de la etapa.${\displaystyle \left[x^{(i)}\right]}$${\displaystyle \mu _{i}.}$

La distribución apropiada para una función con respecto a valores indistintos y las secuencias correspondientes.${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle \left[x_{1}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{1}^{(k)}\right],\ldots ,\left[x_{n}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{n}^{(k)}\right]}$

puede ser aproximado por la secuencia

${\displaystyle \left[y^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[y^{(k)}\right],}$

donde

${\displaystyle \left[y^{(i)}\right]=f\left(\left[x_{1}^{(i)}\right],\ldots \left[x_{n}^{(i)}\right]\right)}$

y se puede calcular mediante métodos de intervalo. El valor corresponde al resultado de un cálculo de intervalo.${\displaystyle \left[y^{(1)}\right]}$

Prueba asistida por computadora

Warwick Tucker usó aritmética de intervalos para resolver el decimocuarto de los problemas de Smale , es decir, para mostrar que el atractor de Lorenz es un atractor extraño . ^[9] Thomas Hales usó aritmética de intervalos para resolver la conjetura de Kepler .

Historia

La aritmética de intervalos no es un fenómeno completamente nuevo en matemáticas; ha aparecido varias veces con diferentes nombres a lo largo de la historia. Por ejemplo, Arquímedes calculó los límites superior e inferior 223/71 < π <22/7 en el siglo III a. C. El cálculo real con intervalos no ha sido tan popular como otras técnicas numéricas ni se ha olvidado por completo.

Las reglas para calcular con intervalos y otros subconjuntos de los números reales se publicaron en un trabajo de 1931 de Rosalind Cicely Young. ^{[10] El} trabajo aritmético sobre números de rango para mejorar la confiabilidad de los sistemas digitales fue publicado en 1951 en un libro de texto sobre álgebra lineal por Paul S. Dwyer  [ de ] ; Se utilizaron ^[11] intervalos para medir los errores de redondeo asociados con los números de punto flotante. Teruo Sunaga (1958) publicó un artículo completo sobre álgebra de intervalos en el análisis numérico. ^[12]

El nacimiento de la aritmética de intervalos moderna estuvo marcado por la aparición del libro Interval Analysis de Ramon E. Moore en 1966. ^{[13] [14]} Tuvo la idea en la primavera de 1958, y un año después publicó un artículo sobre la aritmética de intervalos por computadora. . ^[15] Su mérito fue que, partiendo de un principio simple, proporcionó un método general para el análisis de errores automatizado, no solo los errores resultantes del redondeo.

Independientemente en 1956, Mieczyslaw Warmus sugirió fórmulas para cálculos con intervalos, ^[16] aunque Moore encontró las primeras aplicaciones no triviales.

En los siguientes veinte años, grupos de investigadores alemanes llevaron a cabo un trabajo pionero en torno a Ulrich W. Kulisch ^{[1] [17]} y Götz Alefeld  [ de ] ^[18] en la Universidad de Karlsruhe y más tarde también en la Universidad Bergische de Wuppertal . Por ejemplo, Karl Nickel  [ de ] exploró implementaciones más efectivas, mientras que los procedimientos de contención mejorados para el conjunto de soluciones de sistemas de ecuaciones se debieron a Arnold Neumaier, entre otros. En la década de 1960, Eldon R. Hansense ocupó de las extensiones de intervalo para ecuaciones lineales y luego proporcionó contribuciones cruciales a la optimización global, incluido lo que ahora se conoce como el método de Hansen, quizás el algoritmo de intervalo más utilizado. ^[6] Los métodos clásicos en esto a menudo tienen el problema de determinar el valor global más grande (o más pequeño), pero solo pudieron encontrar un óptimo local y no pudieron encontrar mejores valores; Helmut Ratschek y Jon George Rokne desarrollaron métodos de bifurcación y enlace , que hasta entonces solo se habían aplicado a valores enteros, utilizando intervalos para proporcionar aplicaciones para valores continuos.

En 1988, Rudolf Lohner desarrolló un software basado en Fortran para soluciones confiables para problemas de valor inicial usando ecuaciones diferenciales ordinarias . ^[19]

La revista Reliable Computing (originalmente Interval Computations ) se ha publicado desde la década de 1990, dedicada a la confiabilidad de los cálculos asistidos por computadora. Como editor principal, R. Baker Kearfott, además de su trabajo sobre optimización global, ha contribuido significativamente a la unificación de la notación y la terminología utilizada en la aritmética de intervalos. ^[20]

En los últimos años, el trabajo se ha concentrado en particular en la estimación de preimágenes de funciones parametrizadas y en la teoría de control robusto por parte del grupo de trabajo COPRIN de INRIA en Sophia Antipolis en Francia. ^[21]

Implementaciones

Existen muchos paquetes de software que permiten el desarrollo de aplicaciones numéricas utilizando aritmética de intervalos. ^[22] Por lo general, se proporcionan en forma de bibliotecas de programas. También hay compiladores de C ++ y Fortran que manejan tipos de datos de intervalo y operaciones adecuadas como una extensión de lenguaje, por lo que la aritmética de intervalo es compatible directamente.

Desde 1967, las Extensiones para Computación Científica (XSC) se han desarrollado en la Universidad de Karlsruhe para varios lenguajes de programación , como C ++, Fortran y Pascal . ^[23] La primera plataforma fue una Zuse Z23 , para la cual se puso a disposición un nuevo tipo de datos de intervalo con operadores elementales apropiados. Le siguió en 1976, Pascal-SC , una variante de Pascal en un Zilog Z80 que hizo posible crear rutinas rápidas y complicadas para la verificación automatizada de resultados. Luego vino el ACRITH-XSC basado en Fortran 77 para el System / 370arquitectura (FORTRAN-SC), que luego fue entregada por IBM. A partir de 1991, se podría producir código para compiladores de C con Pascal-XSC ; un año después, la biblioteca de clases de C ++ admitía C-XSC en muchos sistemas informáticos diferentes. En 1997, todas las variantes XSC estuvieron disponibles bajo la Licencia Pública General GNU . A principios de 2000, C-XSC 2.0 fue lanzado bajo el liderazgo del grupo de trabajo para computación científica en la Universidad Bergische de Wuppertal para corresponder al estándar C ++ mejorado.

Otra biblioteca de clase C ++ se creó en 1993 en la Universidad Tecnológica de Hamburgo llamada Profil / BIAS (Biblioteca de intervalo rápido optimizada en tiempo de ejecución del programador, Aritmética de intervalo básica), que hizo que las operaciones habituales de intervalo fueran más fáciles de usar. Hizo hincapié en el uso eficiente del hardware, la portabilidad y la independencia de una presentación particular de intervalos.

La colección Boost de bibliotecas de C ++ contiene una clase de plantilla para intervalos. Sus autores apuntan a tener aritmética de intervalos en el lenguaje estándar C ++. ^[24]

El lenguaje de programación Frink tiene una implementación de aritmética de intervalos que maneja números de precisión arbitraria . Los programas escritos en Frink pueden usar intervalos sin reescribir o recompilar.

Gaol ^[25] es otra biblioteca aritmética de intervalos de C ++ que es única en el sentido de que ofrece los operadores de intervalo relacional utilizados en la programación de restricciones de intervalo .

La biblioteca de Moore ^[26] es una implementación eficiente de la aritmética de intervalos en C ++. Proporciona intervalos con puntos finales de precisión arbitraria y se basa en la característica de "conceptos" de C ++.

El lenguaje de programación Julia ^[27] tiene una implementación de aritmética de intervalo junto con características de alto nivel, como búsqueda de raíces (para funciones reales y de valor complejo) y programación de restricciones de intervalo , a través del paquete ValidatedNumerics.jl. ^[28]

Además, los sistemas informáticos de álgebra, como FriCAS , Mathematica , Maple , Maxima (software) ^[29] y MuPAD , pueden manejar intervalos. Una extensión de Matlab Intlab ^{[30] se} basa en rutinas BLAS , y Toolbox b4m crea una interfaz Profil / BIAS. ^{[30] [31]} Además, el software Euler Math Toolbox incluye una aritmética de intervalos.

Se escribió una biblioteca para el lenguaje funcional OCaml en lenguaje ensamblador y C. ^[32]

Estándar IEEE 1788

En junio de 2015 se aprobó un estándar para aritmética de intervalos, IEEE Std 1788-2015. ^[33] Hay dos implementaciones de referencia disponibles gratuitamente. ^[34] Estos han sido desarrollados por miembros del grupo de trabajo del estándar: la biblioteca libieeep1788 ^[35] para C ++ y el paquete interval ^[36] para GNU Octave .

Un subconjunto mínimo del estándar, IEEE Std 1788.1-2017, se aprobó en diciembre de 2017 y se publicó en febrero de 2018. Debería ser más fácil de implementar y puede acelerar la producción de implementaciones. ^[37]

Conferencias y talleres

Varias conferencias o talleres internacionales se llevan a cabo cada año en el mundo. La conferencia principal es probablemente SCAN (Simposio Internacional sobre Computación Científica, Aritmética Computacional y Computación Numérica Verificada), pero también hay SWIM (Pequeño Taller sobre Métodos de Intervalos), PPAM (Conferencia Internacional sobre Procesamiento Paralelo y Matemática Aplicada), REC (International Taller de Ingeniería Informática Confiable).

Ver también

• Aritmética afín
• INTLAB (Laboratorio de intervalos)
• Diferenciación automática
• Método de red múltiple
• Simulación del Monte Carlo
• Elemento finito de intervalo
• Número difuso
• Personajes importantes
• Aritmética precisa de Karlsruhe (KAA)
• Unum

Referencias

1. Kulisch, Ulrich W. (1989). Wissenschaftliches Rechnen mit Ergebnisverifikation. Eine Einführung (en alemán). Wiesbaden: Vieweg-Verlag . ISBN 3-528-08943-1.
2. Dreyer, Alexander (2003). Análisis de intervalos de circuitos analógicos con tolerancias de componentes . Aquisgrán, Alemania: Shaker Verlag . pag. 15. ISBN 3-8322-4555-3.
3. Aritmética de intervalos complejos y sus aplicaciones , Miodrag S. Petković , Ljiljana D. Petković, Wiley-VCH , 1998, ISBN 978-3-527-40134-5 
4. Hend Dawood (2011). Teorías de la aritmética de intervalos: fundamentos y aplicaciones matemáticas . Saarbrücken: Editorial Académica LAP LAMBERT. ISBN 978-3-8465-0154-2 . 
5. "Jiri Rohn, Lista de publicaciones" . Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2008 . Consultado el 26 de mayo de 2008 .
6. Walster, G. William; Hansen, Eldon Robert (2004). Optimización global mediante análisis de intervalo (2ª ed.). Nueva York, Estados Unidos: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-4059-9.
7. Jaulin, Luc; Kieffer, Michel; Didrit, Olivier; Walter, Eric (2001). Análisis de intervalo aplicado . Berlín: Springer. ISBN 1-85233-219-0.
8. Aplicación de la aritmética difusa para cuantificar los efectos de los parámetros del modelo incierto, Michael Hanss , Universidad de Stuttgart
9. Tucker, Warwick (1999). El atractor de Lorenz existe. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics, 328 (12), 1197-1202.
10. Joven, Rosalind Cicely (1931). El álgebra de cantidades de muchos valores. Mathematische Annalen, 104 (1), 260-290. (NB. Un candidato a doctorado en la Universidad de Cambridge .)
11. Dwyer, Paul Sumner (1951). Cálculos lineales. Oxford, Inglaterra: Wiley. ( Universidad de Michigan )
12. Sunaga, Teruo (1958). "Teoría del álgebra de intervalos y su aplicación al análisis numérico". Memorias de RAAG (2): 29–46.
13. Moore, Ramon Edgar (1966). Análisis de intervalos . Englewood Cliff, Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice-Hall . ISBN 0-13-476853-1.
14. Cloud, Michael J .; Moore, Ramon Edgar ; Kearfott, R. Baker (2009). Introducción al análisis de intervalos . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). ISBN 978-0-89871-669-6.
15. Hansen, Eldon Robert (13 de agosto de 2001). "Publicaciones relacionadas con el trabajo de intervalo temprano de RE Moore" . Universidad de Louisiana en Lafayette Press . Consultado el 29 de junio de 2015 .
16. Artículos preliminares sobre análisis de intervalos de Mieczyslaw Warmus Archivado el 18 de abril de 2008 en la Wayback Machine.
17. Kulisch, Ulrich W. (1969). "Grundzüge der Intervallrechnung". En Laugwitz, Detlef (ed.). Jahrbuch Überblicke Mathematik (en alemán). 2 . Mannheim, Alemania: Bibliographisches Institut . págs. 51–98.
18. Alefeld, Götz ; Herzberger, Jürgen. Einführung in die Intervallrechnung . Reihe Informatik (en alemán). 12 . Mannheim, Viena, Zúrich: BI-Wissenschaftsverlag . ISBN 3-411-01466-0.
19. Límites para ecuaciones diferenciales ordinarias de Rudolf Lohner Archivado el 11 de mayo de 2018 en Wayback Machine (en alemán)
20. Bibliografía de R. Baker Kearfott , Universidad de Louisiana en Lafayette
21. Película introductoria (mpeg) de losequipos COPRIN de INRIA , Sophia Antipolis
22. Software para cálculos de intervalo recopilado por Vladik Kreinovich ], Universidad de Texas en El Paso .
23. Historia de los lenguajes XSC Archivado el 29 de septiembre de 2007 en la Wayback Machine.
24. Una propuesta para agregar aritmética de intervalos a la biblioteca estándar de C ++
25. cárcel no es solo otra biblioteca aritmética de intervalos
26. Moore: Aritmética de intervalos en C ++ moderno
27. El lenguaje de programación Julia
28. ValidatedNumerics.jl
29. [1] Aritmética de intervalos para máximos: un breve resumen de Richard J. Fateman.]
30. Laboratorio Intlab INTerval
31. b4m
32. Alliot, Jean-Marc; Gotteland, Jean-Baptiste; Vanaret, Charlie; Durand, Nicolas; Gianazza, David (2012). Implementación de una biblioteca de cálculo de intervalos para OCaml en arquitecturas x86 / amd64 . XVII Congreso Internacional ACM SIGPLAN sobre Programación Funcional.
33. Estándar IEEE para aritmética de intervalos
34. Nathalie Revol (2015). El (próximo) futuro estándar IEEE 1788 para aritmética de intervalos, diapositivas // SWIM 2015: octavo taller pequeño en métodos de intervalo. Praga, 9-11 de junio de 2015
35. Implementación en C ++ del estándar preliminar IEEE P1788 para aritmética de intervalos
36. Paquete de intervalo de octava GNU
37. "IEEE Std 1788.1-2017 - Estándar IEEE para aritmética de intervalos (simplificado)" . Estándar IEEE . Asociación de estándares IEEE. 2017 . Consultado el 6 de febrero de 2018 .

Otras lecturas

• Hayes, Brian (noviembre-diciembre de 2003). "Un intervalo lúcido" (PDF) . Científico estadounidense . Sigma Xi. 91 (6): 484–488. doi : 10.1511 / 2003.6.484 .
• Tucker, Warwick (2011). Números validados: una breve introducción a cálculos rigurosos . Prensa de la Universidad de Princeton .

enlaces externos

• Aritmética de intervalos (Wolfram Mathworld)
• Numéricos validados para peatones
• Métodos de intervalo de Arnold Neumaier , Universidad de Viena

Talleres de trabajo

• SWIM (Taller de verano sobre métodos de intervalo)
• Congreso Internacional sobre Procesamiento Paralelo y Matemática Aplicada

Bibliotecas

• INTLAB, Instituto de Computación Confiable , Universidad Tecnológica de Hamburgo
• Aritmética de bolas de Joris van der Hoeven
• kv: una biblioteca C ++ para cómputo numérico verificado
  • kv en GitHub
• Arb: una biblioteca C para aritmética de bolas de precisión arbitraria
  • arb en GitHub
• JuliaIntervals en GitHub