En una variedad diferenciable , la derivada exterior extiende el concepto de diferencial de una función a formas diferenciales de grado superior. El derivado exterior fue descrito primero en su forma actual por Élie Cartan en 1899. Además, permite una generalización natural, métrica-independiente de teorema de Stokes , el teorema de Gauss , y el teorema de Green de cálculo vectorial.
Si un diferencial k -form se considera como la medición de la flujo a través de un infinitesimal k - paralelotopo en cada punto del colector, a continuación, su derivado exterior puede ser pensado como la medida del flujo neto a través de la frontera de una ( k + 1) - paralelootopo en cada punto.
La derivada exterior de una forma diferencial de grado k (también forma diferencial k , o simplemente forma k para abreviar aquí) es una forma diferencial de grado k + 1 .
Si f es una función suave (una forma 0 ), entonces la derivada exterior de f es la diferencial de f . Es decir, df es el único 1 -forma tal que para cada lisa campo vectorial X , df ( X ) = d X f , donde d X f es la derivada direccional de f en la dirección de X .
El producto exterior de formas diferenciales (denotado con el mismo símbolo ∧ ) se define como su producto exterior puntiagudo .
La derivada exterior se define como el mapeo lineal ℝ único de formas k a formas ( k + 1) que tiene las siguientes propiedades: