En física, el teorema de Green encuentra muchas aplicaciones. Uno es resolver integrales de flujo bidimensionales, indicando que la suma del fluido que sale de un volumen es igual al flujo de salida total sumado alrededor de un área circundante. En geometría plana , y en particular, topografía de áreas , el teorema de Green se puede utilizar para determinar el área y el centroide de figuras planas únicamente mediante la integración sobre el perímetro.
Prueba cuando D es una región simple
Si D es un tipo simple de región con su límite que consta de las curvas C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , se puede demostrar la mitad del teorema de Green.
La siguiente es una prueba de la mitad del teorema para el área simplificada D , una región de tipo I donde C 1 y C 3 son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Existe una prueba similar para la otra mitad del teorema cuando D es una región de tipo II donde C 2 y C 4 son curvas conectadas por líneas horizontales (nuevamente, posiblemente de longitud cero). Juntando estas dos partes, el teorema queda probado para regiones de tipo III (definidas como regiones que son tanto de tipo I como de tipo II). El caso general se puede deducir de este caso especial descomponiendo D en un conjunto de regiones de tipo III.
Si se puede demostrar que si
( 1 )
y
( 2 )
son verdaderas, entonces el teorema de Green sigue inmediatamente para la región D. Podemos probar ( 1 ) fácilmente para regiones de tipo I y ( 2 ) para regiones de tipo II. A continuación, se sigue el teorema de Green para las regiones de tipo III.
Suponga que la región D es una región de tipo I y, por lo tanto, puede caracterizarse, como se muestra a la derecha, por
donde g 1 y g 2 son funciones continuas en [ a , b ]. Calcule la integral doble en ( 1 ):
( 3 )
Ahora calcule la integral de línea en ( 1 ). C se puede reescribir como la unión de cuatro curvas: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Con C 3 , use las ecuaciones paramétricas: x = x , y = g 2 ( x ), a ≤ x ≤ b . Luego
La integral sobre C 3 se niega porque va en la dirección negativa de b a a , ya que C está orientada positivamente (en sentido antihorario). En C 2 y C 4 , x permanece constante, lo que significa
Por lo tanto,
( 4 )
Combinando ( 3 ) con ( 4 ), obtenemos ( 1 ) para regiones de tipo I. Un tratamiento similar produce ( 2 ) para regiones de tipo II. Poniendo los dos juntos, obtenemos el resultado para las regiones de tipo III.
Prueba de curvas Jordan rectificables
Vamos a demostrar lo siguiente
Teorema. Dejarser una curva de Jordan rectificable, orientada positivamente en y deja denotar su región interior. Suponer que son funciones continuas con la propiedad de que tiene una segunda derivada parcial en cada punto de , tiene primera derivada parcial en cada punto de y que las funciones son integrables por Riemann sobre . Luego
Necesitamos los siguientes lemas cuyas demostraciones se pueden encontrar en: [3]
Lema 1 (Lema de descomposición). Asumir es una curva de Jordan rectificable, orientada positivamente en el plano y sea ser su región interior. Por cada real positivo, dejar denotar la colección de cuadrados en el plano delimitado por las líneas , dónde recorre el conjunto de números enteros. Entonces, por esto, existe una descomposición de en un número finito de subregiones no superpuestas de tal manera que
Cada una de las subregiones contenidas en , decir , es un cuadrado de .
Cada una de las subregiones restantes, digamos , tiene como límite una curva de Jordan rectificable formada por un número finito de arcos de y partes de los lados de algún cuadrado de .
Cada una de las regiones fronterizas se puede encerrar en un cuadrado de la longitud del borde .
Si es la curva límite de orientación positiva de , luego
El número de las regiones fronterizas no es mayor que , dónde es la longitud de .
Lema 2. Sea ser una curva rectificable en el plano y dejar ser el conjunto de puntos en el plano cuya distancia desde (el rango de) es como máximo . El contenido de Jordan exterior de este conjunto satisface.
Lema 3. Sea ser una curva rectificable en y deja ser una función continua. Luego
y
están dónde es la oscilación de en el rango de .
Ahora estamos en condiciones de probar el teorema:
Prueba de teorema. Dejarser un número real positivo arbitrario. Por continuidad de, y compacidad de , dado , existe tal que siempre que dos puntos de son menos que aparte, sus imágenes bajo son menos que aparte. Para esto, considere la descomposición dada por el Lema anterior. Tenemos
Poner .
Para cada , La curva es un cuadrado de orientación positiva, para el que se cumple la fórmula de Green. Por eso
Cada punto de una región fronteriza está a una distancia no mayor que de . Por tanto, si es la unión de todas las regiones fronterizas, entonces ; por eso, por el Lema 2. Note que
Esto produce
Bien podemos elegir de modo que el RHS de la última desigualdad es
La observación al comienzo de esta demostración implica que las oscilaciones de y en cada región fronteriza es como máximo . Tenemos
Por el Lema 1 (iii),
Combinando estos, finalmente obtenemos
para algunos . Dado que esto es cierto para todos, hemos terminado.
Validez bajo diferentes hipótesis
Las hipótesis del último teorema no son las únicas bajo las cuales la fórmula de Green es verdadera. Otro conjunto común de condiciones es el siguiente:
Las funciones todavía se asume que son continuos. Sin embargo, ahora requerimos que sean diferenciables de Fréchet en cada punto de. Esto implica la existencia de todas las derivadas direccionales, en particular, donde, como de costumbre, es la base canónica ordenada de . Además, requerimos la función ser integrable por Riemann sobre .
Como corolario de esto, obtenemos el teorema integral de Cauchy para curvas de Jordan rectificables:
Teorema (Cauchy). Si es una curva de Jordan rectificable en y si es un mapeo continuo holomórfico a lo largo de la región interior de , luego
la integral es una integral de contorno compleja.
Prueba. Consideramos el plano complejo como. Ahora, define ser tal que Estas funciones son claramente continuas. Es bien sabido que y son diferenciables de Fréchet y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: .
Ahora, analizando las sumas utilizadas para definir la integral de contorno compleja en cuestión, es fácil darse cuenta de que
las integrales en el RHS son integrales de línea habituales. Estas observaciones nos permiten aplicar el Teorema de Green a cada una de estas integrales de línea, terminando la demostración.
Regiones con múltiples conexiones
Teorema. Dejar ser curvas de Jordan rectificables orientadas positivamente en satisfactorio
dónde es la región interior de . Dejar
Suponer y son funciones continuas cuya restricción a es diferenciable de Fréchet. Si la función
es Riemann-integrable sobre , luego
Relación con el teorema de Stokes
El teorema de Green es un caso especial del teorema de Kelvin-Stokes , cuando se aplica a una región en el-avión.
Podemos aumentar el campo bidimensional a un campo tridimensional con un componente z que siempre es 0. Escriba F para la función con valor vectorial. Comience con el lado izquierdo del teorema de Green:
El teorema de Kelvin-Stokes:
La superficie es solo la región en el avión , con la unidad normal definido (por convención) para tener un componente z positivo con el fin de coincidir con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas.
La expresión dentro de la integral se convierte en
Así obtenemos el lado derecho del teorema de Green
Considerando solo campos vectoriales bidimensionales, el teorema de Green es equivalente a la versión bidimensional del teorema de divergencia :
dónde es la divergencia en el campo vectorial bidimensional , y es el vector normal unitario que apunta hacia afuera en el límite.
Para ver esto, considere la unidad normal en el lado derecho de la ecuación. Dado que en el teorema de Greenes un vector que apunta tangencialmente a lo largo de la curva, y la curva C es la curva de orientación positiva (es decir, en sentido antihorario) a lo largo del límite, una normal hacia afuera sería un vector que apunta 90 ° a la derecha de este; una opción sería. La longitud de este vector es Entonces
Comience con el lado izquierdo del teorema de Green:
Aplicando el teorema de la divergencia bidimensional con , obtenemos el lado correcto del teorema de Green:
Cálculo de área
El teorema de Green se puede utilizar para calcular el área por la integral de línea. [4] El área de una región plana es dado por
^Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
^Apostol, Tom (1960). Análisis matemático (1 ed.). Reading, Massachusetts, EE.UU .: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
^ a bStewart, James (1999). Cálculo (6ª ed.). Thomson, Brooks / Cole.
^ George Green, Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo (Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse, 1828). En realidad, Green no derivó la forma del "teorema de Green" que aparece en este artículo; más bien, derivó una forma del "teorema de la divergencia", que aparece en las páginas 10-12 de su Ensayo . En 1846, la forma del "teorema de Green" que aparece en este artículo se publicó por primera vez, sin pruebas, en un artículo de Augustin Cauchy : A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée " (Sobre integrales que se extienden sobre todos los puntos de una curva cerrada), Comptes rendus , 23 : 251-255. (La ecuación aparece en la parte inferior de la página 254, donde ( S ) denota la integral de línea de una función k a lo largo de la curva s que encierra el área S. ) Una demostración del teorema fue finalmente proporcionada en 1851 por Bernhard Riemann en su libro inaugural. disertación: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Base para una teoría general de funciones de una cantidad compleja variable), (Göttingen, (Alemania): Adalbert Rente, 1867); consulte las páginas 8–9.
^Katz, Víctor (2009). "22.3.3: Funciones complejas e integrales de línea". Una historia de las matemáticas: una introducción . Addison-Wesley. págs. 801–5. ISBN 0-321-38700-7.
Otras lecturas
Marsden, Jerrold E .; Tromba, Anthony J. (2003). "Los teoremas integrales del análisis vectorial" . Cálculo vectorial (Quinta ed.). Nueva York: Freeman. págs. 518–608. ISBN 0-7167-4992-0.