Este artículo necesita citas adicionales para su verificación . ( junio de 2016 ) |
En matemáticas , una isometría (o congruencia , o transformación congruente ) es una transformación que preserva la distancia entre espacios métricos , generalmente asumida como biyectiva . [1]
Dado un espacio métrico (vagamente, un conjunto y un esquema para asignar distancias entre elementos del conjunto), una isometría es una transformación que mapea elementos al mismo u otro espacio métrico de manera que la distancia entre los elementos de la imagen en el nuevo espacio métrico es igual a la distancia entre los elementos en el espacio métrico original. En un espacio euclidiano bidimensional o tridimensional , dos figuras geométricas son congruentes si están relacionadas mediante una isometría; [3] la isometría que los relaciona es un movimiento rígido (traslación o rotación), o una composición de un movimiento rígido y una reflexión .
Las isometrías se utilizan a menudo en construcciones donde un espacio está incrustado en otro espacio. Por ejemplo, la finalización de un espacio métrico M implica una isometría de M en M' , un conjunto cociente del espacio de secuencias de Cauchy en M . Por tanto, el espacio original M es isométricamente isomorfo a un subespacio de un espacio métrico completo , y normalmente se identifica con este subespacio. Otras construcciones de incrustación muestran que cada espacio métrico es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio vectorial normalizado.y que cada espacio métrico completo es isométricamente isomorfo a un subconjunto cerrado de algún espacio de Banach .
Un operador lineal sobreyectivo isométrico en un espacio de Hilbert se denomina operador unitario .
Deje que X y Y sean espacios métricas con métricas (por ejemplo, distancias) d X y d Y . Un mapa f : X → Y se llama isometría o preservación de distancia si para cualquier a , b ∈ X uno tiene
Una isometría es inyectable automáticamente ; [1] de otro modo dos puntos distintos, un y b , podría ser asignada al mismo punto, contradiciendo de esta manera el axioma coincidencia de la métrica d . Esta prueba es similar a la prueba de que la inserción de un orden entre conjuntos parcialmente ordenados es inyectiva. Claramente, cada isometría entre espacios métricos es una incrustación topológica.
Una isometría global , isomorfismo isométrico o mapeo de congruencia es una isometría biyectiva . Como cualquier otra biyección, una isometría global tiene una función inversa . La inversa de una isometría global también es una isometría global.
Dos espacios métricos X y Y son llamados isométrica si hay una isometría biyectiva de X a Y . El conjunto de isometrías biyectivas de un espacio métrico a sí mismo forma un grupo con respecto a la composición de funciones , llamado grupo de isometría .
También existe la noción más débil de isometría de trayectoria o isometría de arco :
Una isometría de trayectoria o isometría de arco es un mapa que conserva las longitudes de las curvas ; tal mapa no es necesariamente una isometría en el sentido de preservación de la distancia, y no tiene por qué ser necesariamente biyectivo, ni siquiera inyectivo. Este término a menudo se abrevia a simplemente isometría , por lo que se debe tener cuidado de determinar a partir del contexto qué tipo se pretende.
El siguiente teorema se debe a Mazur y Ulam.
Teorema [5] [6] - Let A : X → Y sea una isometría sobreyectiva entre espacios normados que se asigna 0 al 0 ( Stefan Banach llama tales mapas rotaciones ) donde nota que A está no supone que es un lineal isometría. Luego, A asigna puntos medios a puntos medios y es lineal como un mapa sobre los números reales ℝ . Si X e Y son espacios vectoriales complejos, es posible que A no sea lineal como mapa sobre ℂ .
Dados dos espacios vectoriales normativos y , una isometría lineal es un mapa lineal que conserva las normas:
para todos . [7] Las isometrías lineales son mapas que preservan la distancia en el sentido anterior. Son isometrías globales si y solo si son sobreyectivas .
En un espacio de producto interior , la definición anterior se reduce a
para todos , lo que equivale a decir eso . Esto también implica que las isometrías preservan los productos internos, como
Sin embargo, las isometrías lineales no siempre son operadores unitarios , ya que requieren adicionalmente que y .
Según el teorema de Mazur-Ulam , cualquier isometría de espacios vectoriales normalizados sobre R es afín .
Una isometría de una variedad es cualquier mapeo (suave) de esa variedad en sí misma, o en otra variedad que conserva la noción de distancia entre puntos. La definición de isometría requiere la noción de métrica en la variedad; una variedad con una métrica (definida positiva) es una variedad Riemanniana , una con una métrica indefinida es una variedad pseudo-Riemanniana . Por tanto, las isometrías se estudian en geometría riemanniana .
Una isometría local de una variedad ( pseudo ) riemanniana a otra es un mapa que retrae el tensor métrico de la segunda variedad al tensor métrico de la primera. Cuando dicho mapa es también un difeomorfismo , dicho mapa se denomina isometría (o isomorfismo isométrico ) y proporciona una noción de isomorfismo ("igualdad") en la categoría Rm de las variedades de Riemann.
Sea y sea dos variedades (pseudo) riemannianas, y sea un difeomorfismo. Entonces se llama isometría (o isomorfismo isométrico ) si
donde denota el retroceso del tensor métrico de rango (0, 2) por . De manera equivalente, en términos del empuje hacia adelante , tenemos que para dos campos vectoriales cualesquiera en (es decir, secciones del paquete tangente ),
Si es un difeomorfismo local tal que , entonces se llama isometría local .
Una colección de isometrías típicamente forma un grupo, el grupo de isometrías . Cuando el grupo es un grupo continuo , los generadores infinitesimales del grupo son los campos del vector Killing .
El teorema de Myers-Steenrod establece que cada isometría entre dos variedades de Riemannian conectadas es suave (diferenciable). Una segunda forma de este teorema establece que el grupo de isometría de una variedad de Riemann es un grupo de Lie .
Las variedades de Riemann que tienen isometrías definidas en cada punto se denominan espacios simétricos .
"Encontraremos conveniente usar la palabra transformación en el sentido especial de una correspondencia uno a uno entre todos los puntos en el plano (o en el espacio), es decir, una regla para asociar pares de puntos, entendiendo que cada par tiene un primer miembro P y un segundo miembro P ' y que cada punto ocurre como el primer miembro de solo un par y también como el segundo miembro de solo un par ...
En particular, una isometría (o "transformación congruente" o "congruencia") es una transformación que conserva la longitud ... "
3.51 Cualquier isometría directa es una traslación o una rotación. Cualquier isometría opuesta es un reflejo o un reflejo deslizante.
3.11 Dos triángulos congruentes cualesquiera están relacionados por una isometría única.
Sea T una transformación (posiblemente con muchos valores) de ( ) en sí mismo. Vamos a ser la distancia entre los puntos P y Q de , y dejar Tp , Tq ser cualquier imagen de p y q
, respectivamente.
Si hay una longitud a > 0 tal que siempre , entonces T es una transformación euclidiana de sí mismo.
Optimización cuadrática de
(página 135) tal que
Puede recuperar la incrustación ideal si se aplica MLLE en puntos de datos muestreados de una variedad isométrica.