En matemáticas, se dice que una forma cuadrática sobre un campo F es isotrópica si hay un vector distinto de cero en el que la forma se evalúa como cero. De lo contrario, la forma cuadrática es anisotrópica . Más precisamente, si q es una forma cuadrática en un espacio vectorial V sobre F , entonces se dice que un vector v distinto de cero en V es isotrópico si q ( v ) = 0 . Una forma cuadrática es isotrópica si y solo si existe un vector isotrópico distinto de cero (o vector nulo ) para esa forma cuadrática.
Supongamos que ( V , q ) es un espacio cuadrático y W es un subespacio . Entonces W se llama un subespacio isotrópico de V si algún vector en él es isotrópico, un subespacio totalmente isotrópico si todos los vectores en él son isotrópicos y un subespacio anisotrópico si no contiene ningún vector isotrópico (distinto de cero). losEl índice de isotropía de un espacio cuadrático es el máximo de las dimensiones de los subespacios totalmente isotrópicos. [1]
Una forma cuadrática q en un espacio vectorial real de dimensión finita V es anisotrópica si y solo si q es una forma definida :
Más generalmente, si la forma cuadrática no es degenerada y tiene la firma ( a , b ) , entonces su índice de isotropía es el mínimo de a y b . Un ejemplo importante de una forma isotrópica sobre los reales ocurre en el espacio pseudo-euclidiano .
Sea F un campo de característica no 2 y V = F 2 . Si consideramos el elemento general ( x , y ) de V , entonces las formas cuadráticas q = xy y r = x 2 − y 2 son equivalentes ya que hay una transformación lineal en V que hace q parezca r , y viceversa. Evidentemente, ( V , q ) y (V , r ) son isótropos. Este ejemplo se llama plano hiperbólico en la teoría de las formas cuadráticas . Una instancia común tiene F = números reales en cuyo caso { x ∈ V : q ( x ) = constante distinta de cero} y { x ∈ V : r ( x ) = constante distinta de cero} son hipérbolas . En particular, { x ∈ V : r ( x ) = 1}es la hipérbola unitaria . La notación ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ha sido utilizada por Milnor y Husemoller [1] : 9 para el plano hiperbólico a medida que se exhiben los signos de los términos del polinomio bivariado r .
El plano hiperbólico afín fue descrito por Emil Artin como un espacio cuadrático con base { M , N } que satisface M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , donde los productos representan la forma cuadrática. [2]