teorema de Isserlis

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En la teoría de la probabilidad , el teorema de Isserlis o el teorema de probabilidad de Wick es una fórmula que permite calcular momentos de orden superior de la distribución normal multivariante en términos de su matriz de covarianza. Lleva el nombre de León Isserlis .

Este teorema también es particularmente importante en la física de partículas , donde se conoce como teorema de Wick después del trabajo de Wick (1950) . ^[1] Otras aplicaciones incluyen el análisis de rendimientos de cartera, ^[2] la teoría cuántica de campos ^[3] y la generación de ruido coloreado. ^[4]

Si es un vector aleatorio normal multivariante de media cero , entonces${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

En su artículo original, ^[7] Leon Isserlis demuestra este teorema por inducción matemática, generalizando la fórmula para los momentos de orden, ^[8] que toma la apariencia${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

Si es impar, no existe ningún emparejamiento de . Bajo esta hipótesis, el teorema de Isserlis implica que${\displaystyle n=2m+1}$${\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}}$

Si es par, existen (ver factorial doble ) particiones de pares de : esto produce términos en la suma. Por ejemplo, para momentos de orden (es decir , variables aleatorias) hay tres términos. Para momentos de orden hay términos, y para momentos de orden hay términos.${\displaystyle n=2m}$${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$${\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}}$${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$${\displaystyle 4^{\text{th}}}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 6^{\text{th}}}$${\displaystyle 3\times 5=15}$${\displaystyle 8^{\text{th}}}$${\displaystyle 3\times 5\times 7=105}$

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