En la teoría de campos cuánticos perturbativos, el teorema de Wick se usa para reescribir rápidamente cada suma ordenada de tiempo en la serie de Dyson como una suma de términos ordenados normales . En el límite de los estados de entrada y salida asintóticamente libres, estos términos corresponden a los diagramas de Feynman .
Definición de contracción
Para dos operadores y definimos su contracción como
Alternativamente, las contracciones se pueden denotar mediante una línea que une y .
Examinaremos en detalle cuatro casos especiales en los que y son iguales a los operadores de creación y aniquilación. Para partículas denotaremos los operadores de creación por y los operadores de aniquilación por . Satisfacen las relaciones de conmutación habituales, dónde denota el delta de Kronecker .
Entonces tenemos
dónde .
Estas relaciones son válidas para operadores bosónicos u operadores fermiónicos debido a la forma en que se define el orden normal.
Ejemplos de
Podemos usar contracciones y ordenamiento normal para expresar cualquier producto de operadores de creación y aniquilación como una suma de términos ordenados normales. Ésta es la base del teorema de Wick. Antes de enunciar completamente el teorema, veremos algunos ejemplos.
dónde , denota el conmutador , y es el delta de Kronecker.
Podemos usar estas relaciones, y la definición anterior de contracción, para expresar productos de y De otras maneras.
Ejemplo 1
Tenga en cuenta que no hemos cambiado pero simplemente lo reexpresé en otra forma como
Ejemplo 2
Ejemplo 3
En la última línea hemos utilizado diferentes números de símbolos para denotar diferentes contracciones. Al aplicar repetidamente las relaciones de conmutación, se necesita mucho trabajo, como puede ver, expresaren forma de suma de productos pedidos normalmente. Es un cálculo aún más largo para productos más complicados.
Afortunadamente, el teorema de Wick proporciona un atajo.
Declaración del teorema
Un producto de los operadores de creación y aniquilación. se puede expresar como
En otras palabras, una cadena de operadores de creación y aniquilación se puede reescribir como el producto de orden normal de la cadena, más el producto de orden normal después de todas las contracciones simples entre pares de operadores, más todas las contracciones dobles, etc. .
Aplicar el teorema a los ejemplos anteriores proporciona un método mucho más rápido para llegar a las expresiones finales.
Una advertencia : en términos del lado derecho que contienen múltiples contracciones, se debe tener cuidado cuando los operadores son fermiónicos. En este caso, se debe introducir un signo menos apropiado de acuerdo con la siguiente regla: reorganizar los operadores (introduciendo signos menos siempre que se intercambie el orden de dos operadores fermiónicos) para asegurar que los términos contratados sean adyacentes en la cadena. A continuación, se puede aplicar la contracción (consulte la "Regla C" en el artículo de Wick).
Ejemplo:
Si tenemos dos fermiones () con operadores de creación y aniquilación y () luego
Tenga en cuenta que el término con contracciones de los dos operadores de creación y de los dos operadores de aniquilación no se incluye porque sus contracciones desaparecen.
Prueba del teorema de Wick
Usamos la inducción para demostrar el teorema de los operadores bosónicos de creación y aniquilación. La El caso base es trivial, porque solo hay una posible contracción:
En general, las únicas contracciones distintas de cero son entre un operador de aniquilación a la izquierda y un operador de creación a la derecha. Suponga que el teorema de Wick es cierto para operadores , y considere el efecto de agregar un N- ésimo operador a la izquierda de formar . Por el teorema de Wick aplicado a operadores, tenemos:
es un operador de creación o un operador de aniquilación. Si es un operador de creación, todos los productos anteriores, como , ya están ordenados normalmente y no requieren más manipulación. Porque está a la izquierda de todos los operadores de aniquilación en , cualquier contracción que lo involucre será cero. Por tanto, podemos sumar todas las contracciones que implicana las sumas sin cambiar su valor. Por tanto, si es un operador de creación, el teorema de Wick es válido para .
Ahora, suponga que es un operador de aniquilación. Para mover desde el lado izquierdo al lado derecho de todos los productos, intercambiamos repetidamente con el operador inmediatamente a la derecha (llámalo ), cada vez que aplica para tener en cuenta la no conmutatividad. Una vez que hagamos esto, todos los términos estarán ordenados normalmente. Todos los términos agregados a las sumas presionando a través de los productos corresponden a contracciones adicionales que involucran . Por tanto, si es un operador de aniquilación, el teorema de Wick es válido para .
Hemos probado el caso base y el paso de inducción, por lo que el teorema es verdadero. Al introducir los signos negativos apropiados, la prueba puede extenderse a los operadores fermiónicos de creación y aniquilación. El teorema aplicado a los campos se demuestra esencialmente de la misma manera. [3]
Teorema de Wick aplicado a campos
La función de correlación que aparece en la teoría cuántica de campos se puede expresar mediante una contracción de los operadores de campo:
donde el operador son las cantidades que no aniquilan el estado de vacío . Lo que significa que. Esto significa que es una contracción sobre . Tenga en cuenta que la contracción de una cadena ordenada en el tiempo de dos operadores de campo es un número c.
Al final, llegamos al teorema de Wick:
El producto T de una cadena de campos libres ordenados en el tiempo se puede expresar de la siguiente manera:
Aplicando este teorema a los elementos de la matriz S , descubrimos que los términos ordenados en condiciones normales que actúan en el estado de vacío dan una contribución nula a la suma. Concluimos que m es par y solo quedan términos completamente contraídos.
donde p es el número de campos de interacción (o, de manera equivalente, el número de partículas que interactúan) yn es el orden de desarrollo (o el número de vértices de interacción). Por ejemplo, si
Tenga en cuenta que esta discusión está en términos de la definición habitual de ordenamiento normal que es apropiado para los valores esperados de vacío (VEV) de los campos. (El teorema de Wick proporciona una forma de expresar los VEV de n campos en términos de los VEV de dos campos. [4] ) Hay otras posibles definiciones de ordenamiento normal, y el teorema de Wick es válido independientemente. Sin embargo, el teorema de Wick solo simplifica los cálculos si la definición de ordenación normal utilizada se cambia para que coincida con el tipo de valor esperado deseado. Es decir, siempre queremos que el valor esperado del producto pedido normal sea cero. Por ejemplo, en la teoría del campo térmico, un tipo diferente de valor esperado, una traza térmica sobre la matriz de densidad, requiere una definición diferente del orden normal . [5]
^Wick, GC (1950). "La evaluación de la matriz de colisión". Phys. Rev . 80 (2): 268-272. doi : 10.1103 / PhysRev.80.268 .
^Coleman, Sídney (2019). Teoría cuántica de campos: conferencias de Sidney Coleman . Publicaciones científicas mundiales. pag. 158.
^ Véase, por ejemplo, también: Mrinal Dasgupta: Introducción a la teoría cuántica de campos , conferencias presentadas en la Escuela RAL de Física de Altas Energías, Somerville College, Oxford, septiembre de 2008, sección 5.1 Teorema de Wick (descargado el 3 de diciembre de 2012)
^Evans, TS; Steer, DA (1996). "Teorema de Wick a temperatura finita". Nucl. Phys. B . 474 : 481–496. arXiv : hep-ph / 9601268 . doi : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00286-6 .
Otras lecturas
Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995). Introducción a la teoría cuántica de campos . Libros de Perseo. (§4.3)
Schweber, Silvan S. (1962). Introducción a la teoría cuántica de campos relativista . Nueva York: Harper and Row. (Capítulo 13, Sec c)