universo von neumann
En la teoría de conjuntos y ramas relacionadas de las matemáticas , el universo de von Neumann , o la jerarquía de conjuntos de von Neumann , denotada por V , es la clase de conjuntos hereditarios bien fundados . Esta colección, que está formalizada por la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), a menudo se usa para proporcionar una interpretación o motivación de los axiomas de ZFC. El concepto lleva el nombre de John von Neumann , aunque fue publicado por primera vez por Ernst Zermelo en 1930.
El rango de un conjunto bien fundado se define inductivamente como el menor número ordinal mayor que los rangos de todos los miembros del conjunto. [1] En particular, el rango del conjunto vacío es cero, y cada ordinal tiene un rango igual a sí mismo. Los conjuntos en V se dividen en la jerarquía transfinita V α , llamada jerarquía acumulativa , según su rango.
La jerarquía acumulativa es una colección de conjuntos V α indexados por la clase de números ordinales ; en particular, V α es el conjunto de todos los conjuntos que tienen rangos menores que α. Por lo tanto, hay un conjunto V α para cada número ordinal α. V α puede definirse por recursividad transfinita de la siguiente manera:
Un hecho crucial sobre esta definición es que existe una única fórmula φ(α, x ) en el lenguaje de ZFC que establece que "el conjunto x está en V α ".
para cada ordinal α, donde es el conjunto potencia de .
El rango de un conjunto S es el α más pequeño tal que Otra forma de calcular el rango es:
