En el cálculo de la matriz , la fórmula de Jacobi expresa el derivado del determinante de una matriz A en términos de la adjugate de A y el derivado de A . [1]
Si A es un mapa diferenciable de los números reales en matrices n × n , entonces
donde tr ( X ) es la traza de la matriz X .
Como caso especial,
De manera equivalente, si dA representa el diferencial de A , la fórmula general es
Lleva el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi .
Vía computación matricial
Primero probamos un lema preliminar:
Lema. Sean A y B un par de matrices cuadradas de la misma dimensión n . Luego
Prueba. El producto AB del par de matrices tiene componentes
Reemplazar la matriz A por su transpuesta A T equivale a permutar los índices de sus componentes:
El resultado sigue tomando el rastro de ambos lados:
Teorema. (Fórmula de Jacobi) Para cualquier mapa A diferenciable de los números reales en matrices n × n ,
Prueba. La fórmula de Laplace para el determinante de una matriz A se puede establecer como
Observe que la suma se realiza sobre alguna fila i arbitraria de la matriz.
El determinante de A puede considerarse una función de los elementos de A :
de modo que, por la regla de la cadena , su diferencial es
Esta suma se realiza sobre todos los n × n elementos de la matriz.
Para encontrar ∂ F / ∂ A ij, considere que en el lado derecho de la fórmula de Laplace, el índice i se puede elegir a voluntad. (Para optimizar los cálculos: cualquier otra opción eventualmente produciría el mismo resultado, pero podría ser mucho más difícil). En particular, se puede elegir para que coincida con el primer índice de ∂ / ∂ A ij :
Por lo tanto, según la regla del producto,
Ahora, si un elemento de una matriz A ij y un cofactor adj T ( A ) ik del elemento A ik se encuentran en la misma fila (o columna), entonces el cofactor no será una función de A ij , porque el cofactor de A ik se expresa en términos de elementos que no están en su propia fila (ni columna). Por lo tanto,
entonces
Todos los elementos de A son independientes entre sí, es decir
donde δ es el delta de Kronecker , entonces
Por lo tanto,
y aplicando los rendimientos de Lemma
A través de la regla de la cadena
Lema 1. , dónde es el diferencial de .
Esta ecuación significa que el diferencial de , evaluado en la matriz de identidad, es igual a la traza. El diferenciales un operador lineal que asigna una matriz n × n a un número real.
Prueba. Usando la definición de una derivada direccional junto con una de sus propiedades básicas para funciones diferenciables, tenemos
es un polinomio en de orden n . Está estrechamente relacionado con el polinomio característico de. El término constante () es 1, mientras que el término lineal en es .
Lema 2. Para una matriz A invertible , tenemos:.
Prueba. Considere la siguiente función de X :
Calculamos el diferencial de y evaluarlo en usando el Lema 1, la ecuación anterior y la regla de la cadena:
Teorema. (Fórmula de Jacobi)
Prueba. Si es invertible, por el Lema 2, con
usando la ecuación que relaciona el adyuvante de a . Ahora, la fórmula es válida para todas las matrices, ya que el conjunto de matrices lineales invertibles es denso en el espacio de matrices.
La siguiente es una relación útil que conecta la traza con el determinante de la matriz exponencial asociada :
Esta afirmación es clara para las matrices diagonales, y sigue una prueba de la afirmación general.
Para cualquier matriz invertible , en la sección anterior "Vía regla en cadena" , mostramos que
Considerando en esta ecuación se obtiene:
El resultado deseado sigue como solución a esta ecuación diferencial ordinaria.
Varias formas de la fórmula subyacen al algoritmo de Faddeev-LeVerrier para calcular el polinomio característico y aplicaciones explícitas del teorema de Cayley-Hamilton . Por ejemplo, partiendo de la siguiente ecuación, que se demostró anteriormente:
y usando , obtenemos:
donde adj denota la matriz adjunta .