El adjugado [4] a veces se ha llamado "adjunto", [5] pero hoy el "adjunto" de una matriz normalmente se refiere a su operador adjunto correspondiente , que es su transpuesta conjugada .
En más detalle, supongamos que R es un anillo conmutativo y A es un n × n matriz con las entradas de R . El ( i , j ) - menor de A , denotado M ij , es el factor determinante de la ( n - 1) x ( n - 1) matriz que resulta de la eliminación de la fila i y la columna j de A . La matriz del cofactor de A es la matriz C n × n cuya entrada ( i , j ) es el cofactor ( i , j ) de A , que es el factor ( i , j ) menor multiplicado por un signo:
El adyuvante de A es la transpuesta de C , es decir, la matriz n × n cuya entrada ( i , j ) es el cofactor ( j , i ) de A ,
El adyuvante se define como tal que el producto de A con su adyuvante produce una matriz diagonal cuyas entradas diagonales son el determinante det ( A ) . Es decir,
donde I es la matriz identidad n × n . Ésta es una consecuencia de la expansión de Laplace del determinante.
La fórmula anterior implica uno de los resultados fundamentales en álgebra de matrices, que A es invertible si y sólo si det ( A ) es un elemento invertible de R . Cuando esto se cumple, la ecuación anterior produce
Ejemplos de
Matriz genérica 1 × 1
El adyuvante de cualquier matriz 1 × 1 distinta de cero (escalar complejo) es . Por convención, adj (0) = 0.
Matriz genérica 2 × 2
El adyuvante de la matriz 2 × 2
es
Por cálculo directo,
En este caso, también es cierto que det (adj ( A )) = det ( A ) y por lo tanto que adj (adj ( A )) = A .
Matriz genérica 3 × 3
Considere una matriz de 3 × 3
Su matriz de cofactor es
dónde
Su adyuvante es la transposición de su matriz de cofactor,
Matriz numérica 3 × 3
Como ejemplo específico, tenemos
Es fácil comprobar que el adyuvante es el inverso por el determinante, −6 .
El -1 en la segunda fila, tercera columna del adyuvante se calculó de la siguiente manera. El (2,3) de entrada de la adjugate es el (3,2) cofactor de A . Este cofactor se calcula utilizando la submatriz obtenida al eliminar la tercera fila y la segunda columna de la matriz original A ,
El cofactor (3,2) es un signo multiplicado por el determinante de esta submatriz:
y esta es la entrada (2,3) del adjunto.
Propiedades
Para cualquier matriz A de n × n , los cálculos elementales muestran que los adjuntos disfrutan de las siguientes propiedades.
y , dónde y son las matrices cero e identidad, respectivamente.
para cualquier escalar c .
.
.
Si A es invertible, entonces. Resulta que:
adj ( A ) es invertible con inversa (det A ) -1 A .
adj ( A −1 ) = adj ( A ) −1 .
adj ( A ) es polinomio entrywise en A . En particular, sobre los números reales o complejos, la adjugate es una función suave de las entradas de A .
Sobre los números complejos,
, donde la barra denota una conjugación compleja.
, donde el asterisco denota transposición conjugada.
Suponga que B es otra matriz n × n . Luego
Esto se puede demostrar de tres formas. Una forma, válida para cualquier anillo conmutativo, es un cálculo directo utilizando la fórmula de Cauchy-Binet . La segunda forma, válida para los números reales o complejos, es observar primero que para las matrices invertibles A y B ,
Debido a que toda matriz no invertible es el límite de las matrices invertibles , la continuidad del adyuvante implica que la fórmula permanece verdadera cuando una de A o B no es invertible.
Un corolario de la fórmula anterior es que, para cualquier entero no negativo k ,
Si A es invertible, entonces la fórmula anterior también es válida para k negativo .
De la identidad
deducimos
Supongamos que A conmuta con B . Multiplicar la identidad AB = BA a la izquierda y a la derecha por adj ( A ) demuestra que
Si A es invertible, esto implica que adj ( A ) también conmuta con B . Sobre los números reales o complejos, la continuidad implica que adj ( A ) conmuta con B incluso cuando A no es invertible.
Finalmente, hay una prueba más general que la segunda prueba, que solo requiere que una matriz n × n tenga entradas sobre un campo con al menos 2 n +1 elementos (por ejemplo, una matriz de 5 × 5 sobre los enteros mod 11). det ( A + t I ) es un polinomio en t con grado como máximo n , por lo que tiene como máximo n raíces. Tenga en cuenta que la ij -ésima entrada de adj (( A + t I ) ( B )) es un polinomio de orden n como máximo , y lo mismo ocurre con adj ( A + t I ) adj ( B ) . Estos dos polinomios en la ij ésima entrada concuerdan en al menos n +1 puntos, ya que tenemos al menos n +1 elementos del campo donde A + t I es invertible, y hemos probado la identidad para matrices invertibles. Los polinomios de grado n que coinciden en n +1 puntos deben ser idénticos (restarlos entre sí y tiene n +1 raíces para un polinomio de grado n como máximo , una contradicción a menos que su diferencia sea idénticamente cero). Como los dos polinomios son idénticos, toman el mismo valor para cada valor de t . Por tanto, toman el mismo valor cuando t = 0.
Usando las propiedades anteriores y otros cálculos elementales, es sencillo mostrar que si A tiene una de las siguientes propiedades, entonces adj A también la tiene:
Triangular superior,
Triangular inferior,
Diagonal,
Ortogonal,
Unitario,
Simétrico,
Ermitaño
Simetría oblicua,
Sesgado-ermitaño,
Normal.
Si A es invertible, entonces, como se ha indicado anteriormente, hay una fórmula para adj ( A ) en términos del determinante e inversa de A . Cuando A no es invertible, el adyuvante satisface fórmulas diferentes pero estrechamente relacionadas.
Si rk ( A ) ≤ n - 2 , entonces adj ( A ) = 0 .
Si rk ( A ) = n - 1 , entonces rk (adj ( A )) = 1 . (Algunos menores no son cero, por lo que adj ( A ) no es cero y, por lo tanto, tiene rango al menos uno; la identidad adj ( A ) A = 0 implica que la dimensión del espacio nulo de adj ( A ) es al menos n - 1 , por lo que su rango es a lo sumo uno) de ello se deduce que. adj ( a ) = α xy T , donde α es un escalar y x y y son vectores tales que Ax = 0 y a T y = 0 .
Sustitución de columnas y regla de Cramer
Partición A en vectores de columna:
Sea b un vector columna de tamaño n . Fije 1 ≤ i ≤ ny considere la matriz formada al reemplazar la columna i de A por b :
Laplace expanda el determinante de esta matriz a lo largo de la columna i . El resultado es la entrada i del producto adj ( A ) b . La recopilación de estos determinantes para los diferentes i posibles produce una igualdad de vectores columna
Esta fórmula tiene la siguiente consecuencia concreta. Considere el sistema lineal de ecuaciones
Suponga que A no es singular. Multiplicando este sistema de la izquierda por adj ( A ) y dividiendo por los rendimientos determinantes
Al aplicar la fórmula anterior a esta situación se obtiene la regla de Cramer ,
Separando el término constante y multiplicando la ecuación por adj ( A ) da una expresión para el adjugado que depende solo de A y los coeficientes de p A ( t ) . Estos coeficientes se pueden representar explícitamente en términos de trazas de potencias de A utilizando polinomios de Bell exponenciales completos . La fórmula resultante es
donde n es la dimensión de A , y la suma se toma sobre sy todas las secuencias de k l ≥ 0 satisfacen la ecuación diofántica lineal
El adyuvante se puede ver en términos abstractos utilizando álgebras exteriores . Sea V un espacio vectorial n- dimensional. El producto exterior define un maridaje bilineal
Abstractamente, es isomorfo a R , y bajo cualquier isomorfismo de este tipo, el producto exterior es una combinación perfecta . Por tanto, produce un isomorfismo
Explícitamente, este emparejamiento envía v ∈ V a, dónde
Suponga que T : V → V es una transformación lineal. El retroceso por el ( n - 1) st poder exterior de T induce un morfismo de los espacios Hom . El adyuvante de T es el compuesto
Si V = R n está dotado de su base coordinar e 1 , ..., e n , y si la matriz de T en esta base es A , entonces el adjugate de T es la adjugate de A . Para ver por qué, da la base
Fije un vector base e i de R n . La imagen de e i bajo está determinado por dónde envía los vectores base:
Sobre la base de vectores, la ( n - 1) a potencia exterior de T es
Cada uno de estos términos se asigna a cero bajo excepto el término k = i . Por lo tanto, el retroceso de es la transformación lineal para la cual
es decir, es igual
Aplicando la inversa de muestra que el adyuvante de T es la transformación lineal para la cual
En consecuencia, su representación de la matriz es la adjugate de A .
Si V está dotado de un producto interno y una forma de volumen, entonces el mapa φ puede descomponerse aún más. En este caso, φ puede entenderse como la combinación del operador estelar de Hodge y la dualización. Específicamente, si ω es la forma de volumen, entonces, junto con el producto interno, determina un isomorfismo
Esto induce un isomorfismo.
Un vector v en R n corresponde al funcional lineal
Según la definición del operador en estrella de Hodge, este funcional lineal es dual con * v . Es decir, ω ∨ ∘ φ es igual a v ↦ * v ∨ .
Adjugados superiores
Sea A una matriz n × n , y fije r ≥ 0 . El r- ésimo adyuvante superior de A es unmatriz, denotada adj r A , cuyas entradas están indexadas por tamaño r subconjuntos I y J de {1, ..., m } . Deje I c y J c denotan los complementos de I y J , respectivamente. También dejadenota la submatriz de A que contiene aquellas filas y columnas cuyos índices están en I c y J c , respectivamente. Entonces la entrada ( I , J ) de adj r A es
donde σ ( I ) y σ ( J ) son la suma de los elementos de I y J , respectivamente.
Las propiedades básicas de los adyuvantes superiores incluyen:
Los adyuvantes superiores pueden definirse en términos algebraicos abstractos de manera similar al adyuvante habitual, sustituyendo y por y , respectivamente.
Adjugados iterados
Tomando iterativamente el adyuvante de una matriz invertible A k veces se obtiene
^ Gantmacher, FR (1960). La teoría de las matrices . 1 . Nueva York: Chelsea. págs. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.
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Bibliografía
Roger A. Horn y Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis , segunda edición. Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-54823-6
Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas del análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-46713-1
enlaces externos
Manual de referencia de Matrix
Calculadora de matrices en línea (determinante, pista, inversa, adjunta, transpuesta) Calcular matriz adyuvada hasta el pedido 8
"Ayudante de {{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}" . Wolfram Alpha .