En el cálculo de la matriz , la fórmula de Jacobi expresa el derivado del determinante de una matriz A en términos de la adjugate de A y el derivado de A . [1]
Si A es un mapa diferenciable de los números reales en matrices n × n , entonces
![{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ det A (t) = \ operatorname {tr} \ left (\ operatorname {adj} (A (t)) \, {\ frac {dA (t)} {dt}} \ derecha) ~}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde tr ( X ) es la traza de la matriz X .
Como caso especial,
![{\ estilo de visualización {\ parcial \ det (A) \ sobre \ parcial A_ {ij}} = \ operatorname {adj} (A) _ {ji}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera equivalente, si dA representa el diferencial de A , la fórmula general es
![{\ Displaystyle d \ det (A) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {adj} (A) \, dA).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Lleva el nombre del matemático Carl Gustav Jacob Jacobi .
Vía computación matricial
Primero probamos un lema preliminar:
Lema. Sean A y B un par de matrices cuadradas de la misma dimensión n . Luego
![{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (A^{\rm {T}}B).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba. El producto AB del par de matrices tiene componentes
![{\displaystyle (AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Reemplazar la matriz A por su transpuesta A T equivale a permutar los índices de sus componentes:
![(A^{\rm {T}}B)_{jk}=\sum _{i}A_{ij}B_{ik}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El resultado sigue tomando el rastro de ambos lados:
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}.\ \square }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teorema. (Fórmula de Jacobi) Para cualquier mapa A diferenciable de los números reales en matrices n × n ,
![{\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Prueba. La fórmula de Laplace para el determinante de una matriz A se puede establecer como
![{\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Observe que la suma se realiza sobre alguna fila i arbitraria de la matriz.
El determinante de A puede considerarse una función de los elementos de A :
![\det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
de modo que, por la regla de la cadena , su diferencial es
![d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esta suma se realiza sobre todos los n × n elementos de la matriz.
Para encontrar ∂ F / ∂ A ij, considere que en el lado derecho de la fórmula de Laplace, el índice i se puede elegir a voluntad. (Para optimizar los cálculos: cualquier otra opción eventualmente produciría el mismo resultado, pero podría ser mucho más difícil). En particular, se puede elegir para que coincida con el primer índice de ∂ / ∂ A ij :
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, según la regla del producto,
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ahora, si un elemento de una matriz A ij y un cofactor adj T ( A ) ik del elemento A ik se encuentran en la misma fila (o columna), entonces el cofactor no será una función de A ij , porque el cofactor de A ik se expresa en términos de elementos que no están en su propia fila (ni columna). Por lo tanto,
![{\displaystyle {\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
entonces
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Todos los elementos de A son independientes entre sí, es decir
![{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde δ es el delta de Kronecker , entonces
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto,
![{\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y aplicando los rendimientos de Lemma
![{\displaystyle d(\det(A))=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).\ \square }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A través de la regla de la cadena
Lema 1.
, dónde
es el diferencial de
.
Esta ecuación significa que el diferencial de
, evaluado en la matriz de identidad, es igual a la traza. El diferencial
es un operador lineal que asigna una matriz n × n a un número real.
Prueba. Usando la definición de una derivada direccional junto con una de sus propiedades básicas para funciones diferenciables, tenemos
![{\displaystyle \det '(I)(T)=\nabla _{T}\det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un polinomio en
de orden n . Está estrechamente relacionado con el polinomio característico de
. El término constante (
) es 1, mientras que el término lineal en
es
.
Lema 2. Para una matriz A invertible , tenemos:
.
Prueba. Considere la siguiente función de X :
![{\displaystyle \det X=\det(AA^{-1}X)=(\det A)\ \det(A^{-1}X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Calculamos el diferencial de
y evaluarlo en
usando el Lema 1, la ecuación anterior y la regla de la cadena:
![{\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Teorema. (Fórmula de Jacobi)
Prueba. Si
es invertible, por el Lema 2, con
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A\;{\frac {dA}{dt}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
usando la ecuación que relaciona el adyuvante de
a
. Ahora, la fórmula es válida para todas las matrices, ya que el conjunto de matrices lineales invertibles es denso en el espacio de matrices.
La siguiente es una relación útil que conecta la traza con el determinante de la matriz exponencial asociada :
Esta afirmación es clara para las matrices diagonales, y sigue una prueba de la afirmación general.
Para cualquier matriz invertible
, en la sección anterior "Vía regla en cadena" , mostramos que
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\;\operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Considerando
en esta ecuación se obtiene:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det e^{tB}=\operatorname {tr} (B)\det e^{tB}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El resultado deseado sigue como solución a esta ecuación diferencial ordinaria.
Varias formas de la fórmula subyacen al algoritmo de Faddeev-LeVerrier para calcular el polinomio característico y aplicaciones explícitas del teorema de Cayley-Hamilton . Por ejemplo, partiendo de la siguiente ecuación, que se demostró anteriormente:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\ \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y usando
, obtenemos:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det(tI-B)=\det(tI-B)\operatorname {tr} [(tI-B)^{-1}]=\operatorname {tr} [\operatorname {adj} (tI-B)]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde adj denota la matriz adjunta .