En la teoría de los sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se utilizan a menudo para simplificar la formulación matemática. Estas coordenadas son particularmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas , [3] y en la mecánica celeste . [4] Un algoritmo para generar las coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios . [5] En palabras, el algoritmo se describe de la siguiente manera: [5]
Sean m j y m k las masas de dos cuerpos que son reemplazados por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m j + m k . Las coordenadas de posición x j y x k se reemplazan por su posición relativa r jk = x j - x k y por el vector a su centro de masa R jk = ( m j q j + m k q k ) / ( m j + m k ). El nodo del árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m j como hijo derecho y m k como hijo izquierdo. El orden de los hijos indica los puntos de coordenadas relativos desde x k hasta x j . Repita el paso anterior para N - 1 cuerpos, es decir, los N - 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.
Para el problema de N cuerpos, el resultado es: [2]
con
El vector es el centro de masa de todos los cuerpos:
El resultado que nos queda es, por tanto, un sistema de coordenadas invariantes traslacionalmente N -1 y una coordenada del centro de masa , de la reducción iterativa de los sistemas de dos cuerpos dentro del sistema de muchos cuerpos.
Este cambio de coordenadas tiene asociado jacobiano igual a.
Si uno está interesado en evaluar un operador de energía libre en estas coordenadas, se obtiene
En los cálculos puede resultar útil la siguiente identidad
- .
Referencias
- ^ David Betounes (2001). Ecuaciones diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.
- ^ a b Patrick Cornille (2003). "Partición de fuerzas mediante coordenadas de Jacobi" . Electromagnetismo avanzado y física del vacío . World Scientific. pag. 102. ISBN 981-238-367-0.
- ^ John ZH Zhang (1999). Teoría y aplicación de la dinámica molecular cuántica . World Scientific . pag. 104. ISBN 981-02-3388-4.
- ^ Por ejemplo, consulte Edward Belbruno (2004). Captura dinámicas y movimientos caóticos en mecánica celeste . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 9. ISBN 0-691-09480-2.
- ^ a b Hildeberto Cabral, Florin Diacu (2002). "Apéndice A: Transformaciones canónicas a coordenadas de Jacobi" . Mecánica clásica y celeste . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 230. ISBN 0-691-05022-8.