Estimador de James-Stein

El estimador de James-Stein es un estimador sesgado de la media de (posiblemente) vectores aleatorios distribuidos gaussianos correlacionados con medias desconocidas . ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta}}}$ ${\displaystyle Y=\{Y_{1},Y_{2},...,Y_{m}\}}$${\displaystyle \{{\boldsymbol {\theta }}_{1},{\boldsymbol {\theta }}_{2},...,{\boldsymbol {\theta }}_{m}\}}$

Surgió secuencialmente en dos artículos principales publicados, la versión anterior del estimador fue desarrollada por Charles Stein en 1956, ^[1] que llegó a una conclusión relativamente impactante de que, si bien la estimación habitual de la media, o la media muestral escrita por Stein y James como , es admisible cuando , sin embargo es inadmisible cuando y propone una posible mejora al estimador que reduce las medias muestrales hacia un vector medio más central (que puede elegirse a priori o comúnmente el "promedio de promedios" de las medias muestrales dado que todas las muestras comparten el mismo tamaño), se conoce comúnmente como${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}(Y_{i})={\boldsymbol {\theta }}}$${\ estilo de visualización m \ leq 2}$${\ estilo de visualización m \ geq 3}$${\displaystyle {{\boldsymbol {\theta}}_{i}}}$${\ estilo de visualización {\ símbolo de negrita {\ nu}}}$El ejemplo o paradoja de Stein . Este resultado anterior fue mejorado posteriormente por Willard James y Charles Stein en 1961 mediante la simplificación del proceso original. ^[2]

Se puede demostrar que el estimador de James-Stein domina el enfoque de mínimos cuadrados "ordinarios" , lo que significa que el estimador de James-Stein tiene un error cuadrático medio menor o igual que el estimador de mínimos cuadrados "ordinario".

Sea donde el vector es la media desconocida de , que tiene una distribución normal y con una matriz de covarianza conocida .${\displaystyle {\mathbf {Y} }\sim N_{m}({\boldsymbol {\theta }},\sigma ^{2}I),\,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta}}}$${\displaystyle {\mathbf {Y} }}$${\ estilo de visualización m}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} I}$

MSE (R) del estimador de mínimos cuadrados (ML) vs. estimador de James-Stein (JS). El estimador de James-Stein da su mejor estimación cuando la norma del vector de parámetros real θ está cerca de cero.