Robinson, residente de Reseda en California, [1] comenzó a competir con la Serie Winston West de NASCAR en 1978. Pronto comenzó a disfrutar del éxito con la serie ganando el Campeonato de la Serie Winston West de NASCAR en 1983, 1984 y 1985, terminando nada menos que quinto en la clasificación de la serie durante ocho años consecutivos. Robinson registró 13 victorias en la Serie Winston West de NASCAR y ganó el título de piloto más popular muchas veces.
Robinson hizo su debut en la Serie de la Copa Winston de NASCAR el 14 de enero de 1979 en la apertura de la temporada del año, la Winston Western 500 en el circuito de 2.62 millas de Riverside International Raceway en Riverside, California, conduciendo el Chevrolet Borneman Plastering No. 81 de John Borneman. Robinson completó 17 vueltas del evento de 119 vueltas antes de sufrir una falla en el motor. Robinson regresó a la competencia de la Serie de la Copa Winston conduciendo el Chevrolet No. 78 San-Val Lumber Supply de AJ Kurten en las NAPA Riverside 400 y en Los Angeles Times 500 en el Ontario Motor Speedway de 2.5 millas en Ontario, California .
Robinson ingresó a los mismos tres eventos en 1980 conduciendo el Chevrolet No. 78 San Fernando Valley Lumber de Kurten y terminó vigésimo en la Warner W. Hodgdon 400 en Riverside. En 1981, condujo el Jack Williams No. 78 San Fernando Valley Lumber/Hammer Security Chevrolet en la apertura de la temporada Winston Western 500 en Riverside y terminó sexto. Terminó décimo cuando la serie regresó a Riverside para la Warner W. Hodgdon 400 conduciendo el No. 78 Oldsmobile. La serie regresó a Riverside para una tercera visita a la Winston Western 500 en noviembre, donde Robinson sufrió un accidente en la vuelta 53.
Robinson compitió nuevamente en la Serie de la Copa Winston de NASCAR en 1982 en dos eventos en Riverside, Budweiser 400 y Winston Western 500, registrando un vigésimo lugar. Cuando la Serie de la Copa Winston de NASCAR visitó Riverside en 1983, Robinson estaba presente en el Oldsmobile No. 78 de Hammer Security Systems. Terminó 11° en la Budweiser 400 y 21° en la Winston Western 500.
En 1984, Robinson compitió una vez más en los dos eventos de Riverside en el calendario de la Serie de la Copa Winston de NASCAR, la Budweiser 400, donde terminó 14º en el No. 78 Gibson Oldsmobile y la Winston Western 500, donde terminó 29º.
En 1985, Robinson terminó 13º en la Budweiser 400 y 12º en la Winston Western 500 en Riverside. Terminó 15º en la Budweiser 400 de 1986 en Riverside y 25º después de una falla en el motor en la vuelta 100 de la Winston Western 500.