En dinámica de fluidos , el flujo de Jeffery-Hamel es un flujo creado por un canal convergente o divergente con una fuente o sumidero de volumen de fluido en el punto de intersección de las dos paredes planas. Lleva el nombre de George Barker Jeffery (1915) [1] y Georg Hamel (1917), [2] pero posteriormente ha sido estudiado por muchos científicos importantes como von Kármán y Levi-Civita , [3] Walter Tollmien , [4 ] F. Noether , [5] WR Dean , [6] Rosenhead , [7] Landau , [8] GK Batchelor [9], etc. Edward Fraenkel describió un conjunto completo de soluciones en 1962. [10]
Descripción de flujoConsidere dos paredes planas estacionarias con un caudal volumétrico constante se inyecta / aspira en el punto de intersección de las paredes planas y deja que el ángulo subtendido por dos paredes sea . Toma la coordenada cilíndrica sistema con que representa el punto de intersección y la línea central y son los componentes de velocidad correspondientes. El flujo resultante es bidimensional si las placas son infinitamente largas en el eje dirección, o las placas son más largas pero finitas, si se despreciaran los efectos de borde y por la misma razón se puede suponer que el flujo es completamente radial, es decir, .
Luego, la ecuación de continuidad y las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se reducen a
Las condiciones de contorno son condiciones de no deslizamiento en ambas paredes y la tercera condición se deriva del hecho de que el flujo de volumen inyectado / aspirado en el punto de intersección es constante en una superficie en cualquier radio.
FormulaciónLa primera ecuación dice que es solo función de , la función se define como
Diferentes autores definen la función de manera diferente, por ejemplo, Landau [8] define la función con un factor. Pero siguiendo a Whitham , [11] Rosenhead [12] el la ecuación de impulso se convierte en
Ahora dejando
la y las ecuaciones de impulso se reducen a
y sustituir esto en la ecuación anterior (para eliminar la presión) da como resultado
Multiplicar por e integrando una vez,
dónde son constantes que se determinarán a partir de las condiciones de contorno. La ecuación anterior se puede reescribir convenientemente con otras tres constantes como raíces de un polinomio cúbico, con solo dos constantes arbitrarias, la tercera constante siempre se obtiene de otras dos porque la suma de las raíces es .
Las condiciones de contorno se reducen a
dónde es el número de Reynolds correspondiente . La solución se puede expresar en términos de funciones elípticas . Para flujo convergente, la solución existe para todos , pero por el flujo divergente , la solución existe solo para un rango particular de .
Interpretación dinámica [13]La ecuación toma la misma forma que un oscilador no lineal no amortiguado (con potencial cúbico) se puede pretender que es el momento ,es el desplazamiento yes la velocidad de una partícula con unidad de masa, entonces la ecuación representa la ecuación de energía (, dónde y ) con energía total cero, entonces es fácil ver que la energía potencial es
dónde en movimiento. Dado que la partícula comienza en por y termina en por , hay dos casos a considerar.
- Primer caso son conjugados complejos y . La partícula comienza en con velocidad positiva finita y alcanza donde su velocidad es y la aceleración es y vuelve a en el momento final . El movimiento de las partículas representa el movimiento de flujo de salida puro porque y también es simétrico sobre .
- Segundo caso , todas las constantes son reales. El movimiento de a a representa una salida simétrica pura como en el caso anterior. Y el movimiento a a con para todo el tiempo() representa un flujo de entrada simétrico puro. Pero también, la partícula puede oscilar entre, que representan las regiones de entrada y salida y el flujo ya no es necesario simétrico sobre .
La rica estructura de esta interpretación dinámica se puede encontrar en Rosenhead (1940). [7]
Flujo de salida puroPara pura salida, ya que a , la integración de la ecuación gobernante da
y las condiciones de contorno se vuelven
Las ecuaciones se pueden simplificar mediante transformaciones estándar dadas, por ejemplo, en Jeffreys . [14]
- Primer caso son conjugados complejos y lleva a
dónde son funciones elípticas de Jacobi .
- Segundo caso lleva a
Forma limitante
La condición límite se obtiene observando que el flujo de salida puro es imposible cuando , lo que implica de la ecuación gobernante. Por tanto, más allá de estas condiciones críticas, no existe ninguna solución. El ángulo crítico es dado por
dónde
dónde es la integral elíptica completa del primer tipo . Para grandes valores de, el ángulo crítico se convierte en .
El correspondiente número de Reynolds crítico o flujo de volumen viene dado por
dónde es la integral elíptica completa del segundo tipo . Para grandes valores de, el número de Reynolds crítico o el flujo de volumen se convierte en .
Entrada puraPara el flujo de entrada puro, la solución implícita está dada por
y las condiciones de contorno se vuelven
El flujo de entrada puro es posible solo cuando todas las constantes son reales y la solución está dada por
dónde es la integral elíptica completa del primer tipo .
Forma limitante
A medida que aumenta el número de Reynolds (se vuelve más grande), el flujo tiende a volverse uniforme (acercándose así a la solución de flujo potencial ), excepto en las capas límite cercanas a las paredes. Desde es grande y se da, se desprende de la solución que debe ser grande, por lo tanto . Pero cuando, , la solución se convierte en
Está claro que en todas partes excepto en la capa límite de espesor . El flujo de volumen es así que eso y las capas límite tienen un espesor clásico .
Referencias- ^ Jeffery, GB "L. El movimiento constante bidimensional de un fluido viscoso". Revista filosófica de Londres, Edimburgo y Dublín y Journal of Science 29.172 (1915): 455–465.
- ^ Hamel, Georg. "Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 25 (1917): 34–60.
- ^ von Kármán y Levi-Civita . "Vorträge aus dem Gebiete der Hydro-und Aerodynamik". (1922)
- ^ Walter Tollmien "Handbuch der Experimentalphysik, Vol. 4." (1931): 257.
- ^ Fritz Noether "Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, Vol. 5." Leipzig, JA Barch (1931): 733.
- ^ Dean, WR "LXXII. Nota sobre el flujo divergente de fluido". Revista filosófica y Journal of Science de Londres, Edimburgo y Dublín 18.121 (1934): 759–777.
- ^ a b Louis Rosenhead "El flujo radial bidimensional constante de fluido viscoso entre dos paredes planas inclinadas". Actas de la Royal Society of London A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería. Vol. 175. No. 963. The Royal Society, 1940.
- ↑ a b Lev Landau y EM Lifshitz . "Mecánica de fluidos Pérgamo". Nueva York 61 (1959).
- ^ GK Batchelor . Introducción a la dinámica de fluidos. Prensa de la universidad de Cambridge, 2000.
- ^ Fraenkel, LE (1962). Flujo laminar en canales simétricos con paredes ligeramente curvadas, I. Sobre las soluciones Jeffery-Hamel para flujo entre paredes planas. Actas de la Royal Society of London. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas, 267 (1328), 119-138.
- ^ Whitham, GB "Capítulo III en capas límite laminares". (1963): 122.
- ^ Rosenhead, Louis, ed. Capas límite laminares. Prensa de Clarendon, 1963.
- ^ Drazin, Philip G. y Norman Riley . Las ecuaciones de Navier-Stokes: una clasificación de flujos y soluciones exactas. No. 334. Cambridge University Press, 2006.
- ^ Jeffreys, Harold, Bertha Swirles y Philip M. Morse. "Métodos de física matemática". (1956): 32–34.