Dejar ser un código q -ary de longitud, es decir, un subconjunto de . Dejar ser la distancia mínima de , es decir
dónde es la distancia de Hamming entre y .
Dejar ser el conjunto de todos los códigos q -ary con longitud y distancia mínima y deja denotar el conjunto de códigos en tal que cada elemento tenga exactamente entradas distintas de cero.
Denotamos por el número de elementos en . Entonces, definimos ser el tamaño más grande de un código con longitud y distancia mínima :
Del mismo modo, definimos ser el tamaño más grande de un código en :
Teorema 1 (Johnson se dirigió a ):
Si ,
Si ,
Teorema 2 (Johnson se dirigió a ):
(i) Si
(ii) Si, luego defina la variable como sigue. Si es par, luego defina a través de la relación ; Si es extraño, define a través de la relación . Dejar. Luego,
dónde es la función de piso .
Observación: Insertar el límite del Teorema 2 en el límite del Teorema 1 produce un límite superior numérico en.